Явный метод численного решения

Дискретизация области и уравнений

Область разбивается с шагом, и по с шагом.

.

Для простоты в дальнейшем рассматривается частный случай и, кроме того, будем использовать одинаковые обозначения для исходных функции и, соответствующих им, разностных функций.

Вводятся массивы четыре одномерных и шесть двумерных массива соответствующей размерности.

:

При фиксированном вычисляем массив по формуле.

.

Аналогично вычисляются массивы. Через будем обозначать значения функции на прошлом слое по, а через на текущем слое по времени.

Вычислим связь, и, из разностных уравнений для.

используя явную схему.

Для этого переходим от дифференциальных уравнений к разностным, заменяя производные конечными разностями по формулам:

.

.

.

.

.

Аналогично заменяются конечными разностями и производные от функции: , причем:

Подставим эти выражения в уравнения системы, тогда получим:

.

если ,.

если.

,.

где дискретный оператор дивергенции, который вычисляется по формуле:

.

Разрешим эти уравнения относительно, тогда получим:

при :

.

(14).

Выше используется формула Присваивание значений на границах.

(17).

Алгоритм численного решения

1 шаг., присвоение начальных значений.

где.

где.

2 шаг., переход на следующий слой.

a) Рассчитывается, по формулам (13) — (16), при.

.

b)Рассчитывается массивы по формулам:

c) Рассчитываются, ,, ,, по формулам (17).

d) Выводим графики ,.

3 шаг. Проверка достижения заданного конечного времени.

Если, то.

,.

и переход к шагу 2, иначе выход из алгоритма.