Физический смысл производной

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x (t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т. е.

Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при? t > 0.

lim Vср (t) = (t0) — мгновенная скорость в момент времени t0, ?t > 0.

а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).

Итак, (t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f (x) в точке x0 — это скорость изменения функции f (х) в точке x0.

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x'(t) — скорость,.

a (f) = '(t) — ускорение, или.

a (t) = x" (t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

ц = ц (t) — изменение угла от времени, щ = ц'(t) — угловая скорость, е = ц'(t) — угловое ускорение, или е = ц" (t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m (х) — масса,.

x [0; l], l — длина стержня, р = m'(х) — линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука.

F = -kx, x — переменная координата, kкоэффициент упругости пружины. Положив щ2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника.

х" (t) + щ2x (t) = 0,.

где щ = vk/vm частота колебаний (l/c), k — жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + щ2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция у = Asin (щt + ц0) или у = Acos (щt + ц0), где, А — амплитуда колебаний, щ — циклическая частота, ц0 — начальная фаза.