Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

Будем искать интерполяционный многочлен в виде.

ВАНДЕРМОНД АЛЕКСАНДР ТЕОФИЛЬ (Vandermonde Alexandre Theophill; 1735—1796) — французский математик, чьи основные работы относятся к алгебре. В. заложил основы и дал логическое изложение теории детерминантов (определитель Вандермонда), а также выделил ее из теории линейных уравнений. Он ввел правило разложения детерминантов с помощью миноров второго порядка.

Здесь 1.(х) — многочлены степени л, так называемые ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГОЧЛЕНЫ ВЛИЯНИЯ, удовлетворяющие условию.

Последнее условие означает, что любой многочлен l_t(x) равен нулю при каждом х-у кроме х._у т. е. х₀у x_v …" х_{ __v x_{i + v} …" х_п — корни этого многочлена. Следовательно, лагранжевы многочлены Ifjx) имеют вид.

Так как по условию 1.(х.) = 1, то.

Таким образом, лагранжевы многочлены влияния запишутся в виде.

а интерполяционный многочлен (2.5) запишется в виде.

ЛАГРАНЖ ЖОЗЕФ ЛУИ (Lagrange Joseph Louis; 1736— 1813) — выдающийся французский математик и механик, наиболее важные труды которого относятся к вариационному исчислению, к аналитической и теоретической механике. В основу статики Л. положил принцип возможных (виртуальных) перемещений. Он ввел обобщенные координаты и придал уравнениям движения механической системы форму, названную его именем. Л. получил ряд важных результатов в области анализа (формула остаточного члена ряда Тейлора, формула конечных приращений, теория условных экстремумов); в теории чисел (теорема Лагранжа); в алгебре (теория непрерывных дробей, приведение квадратичной формы к сумме квадратов); в теории дифференциальных уравнений (отыскание частного решенияу изучение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, линейного относительно искомой функции и независимой переменной, с переменными коэффициентами, зависящими от производной от искомой функции); в теории интерполирования (интерполяционная формула Лагранжа).

Интерполяционный многочлен в форме (2.6) называется ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ МНОГОЧЛЕНОМ ЛАГРАНЖА. Перечислим основные достоинства этой формы записи интерполяционного многочлена.

• • Число арифметических операций, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально п² и является наименьшим для всех форм записи.
• • Формула (2.6) в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, что бывает удобно при некоторых вычислениях, в частности, при построении формул численного интегрирования.
• • Формула (2.6) применима как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих узлов.
• • Интерполяционный многочлен Лагранжа особенно удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны, что имеет место во многих экспериментальных исследованиях.

К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов приходится все вычисления проводить заново. Это затрудняет проведение апостериорных оценок точности (оценок, получающихся в процессе расчета).

п Введем функцию ю_{л f}, = (х — х₀)(х — Xj)…(x — х_п) = fl (* «*;)•.

I «о Отметим, что ш_{п + :}(х) есть многочлен степени п + 1. Тогда формулу (2.6) можно записать в виде.

Приведем формулы линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу:

Многочлен Лагранжа является в формуле (2.8) многочленом 1-й и в формуле (2.9) — многочленом 2-й степени.

Эти формулы наиболее часто используются на практике. Пусть задан (п + 1) узел интерполяции. На этих узлах можно построить один интерполяционный многочлен п-й степени, (п — 1) многочлен первой степени и большой набор многочленов степени меньше п, опирающихся на некоторые из этих узлов. Теоретически максимальную точность обеспечивает многочлен более высокой степени. Однако на практике наиболее часто используют многочлены невысоких степеней во избежание погрешностей при расчетах коэффициентов при больших степенях многочлена.