Задача заключается в локализации экстремума функции одной переменной, заданной на интервале [a, b] с точностью до Д. При решении этой задачи весь интервал разбивается на участки величиной Д. В узлах разбиения вычисляются значения функции Q и из них выбирается экстремальное. Этот метод требует больших затрат времени (зависящего от значения Д), но главное его преимущество — это определение глобального экстремума.
Естественным и наиболее распространенным на практике методом поиска экстремума функции одной переменной является метод последовательного деления отрезка пополам. Этот метод был известен еще в древней Греции как метод дихотомии.
Пусть требуется определить экстремум унимодальной функции Q (u) на отрезке [a, b] с точностью Д. Отрезок [a, b] делится пополам и вычисляются значения функции Q (x1) = F1 и Q (x2) = F2 в точках На основе анализа значений F1 и F2 вдвое уменьшается интервал неопределенности и процесс повторяется пока b — a > Д.
Метод «золотого сечения»
Гораздо эффективнее, с точки зрения уменьшения затрат на вычисления, метод «золотого сечения»: интервал неопределенности делится не пополам, как в методе дихотомии, а в определенном иррациональном соотношении ф=ac/cb=cb/ab.
Метод заключается в том, что по заданным a и b как можно точнее определяется значение внутренней точки x1по формуле.
x1 = b — (b — a) / 1,618 033 989…
Точка x2 определяется как точка, симметричная точке x1 на отрезке (a — b).
На основе анализа значений F1 = Q (x1) и F2 = Q (x2) интервал неопределенности сокращается путем отбрасывания из рассмотрения отрезка в котором экстремум исключен, исходя из условий унимодальности Q (u). Далее мы определим симметричную точку внутри новых границ, вычисляем значение Q в этой точке, проводим анализ и т. д. до тех пор, пока разность между симметричными точками внутри интервала неопределенности больше Д.
