Ход изменения функции «Гамма»
Теперь для вычисления произведения синусов рассмотрим тождество: Эта функция непрерывна и положительна для и, а интегралы. Подставляя это выражение для, окончательно получаем: Перепишем это произведение в обратном порядке. Умножим обе части этого равенства на получим: При налицо минимум, вычисление которого дает: Заменяем на и t на, получим: Перемножим оба выражения: Таким образом, получаем: Или… Читать ещё >
Ход изменения функции «Гамма» (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Из формул и имеем: так что по теореме Ролля, между и должен лежать корень производной. Первая производная постоянно возрастает, т.к. вторая производная всегда положительна (следует из (. Следовательно, при производная, и функция убывает, так что возрастает;
при налицо минимум, вычисление которого дает:
Из формул (и из свойства непрерывности) следует, что при С другой стороны, ввиду лишь только то есть и при.
Связь между функциями «Бета» и «Гамма»
Для того, чтобы установить связь между функциями и Г, подставим в формулу и получим:
Умножим обе части этого равенства на получим:
Заменяем на и t на, получим:
Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по t от 0 до :
Таким образом, получаем:
откуда,.
Эта функция непрерывна и положительна для и, а интегралы.
представляют собой непрерывные функции: первый — от для, второй — от для. Если и, то.
Отсюда, используя формулы привидения для функции для функции, можно получить формулу без ограничений.
Формула дополнения
Если в формуле (считая, то, используя формулы и, получим соотношение:
Если в интеграле.
сделать подстановку то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:
Формула Эйлера
Перепишем это произведение в обратном порядке.
перемножим оба выражения:
и к каждой паре множителей применим формулу дополнения. Мы получим:
Теперь для вычисления произведения синусов рассмотрим тождество:
.
получим:
или, приравнивая модули:
получим:
Подставляя это выражение для, окончательно получаем: