Ферми-газ. 
Курс общей физики. 
Книга 3: термодинамика, статистическая физика, строение вещества

Рассмотрим газ, состоящий из некоторого числа N частиц, относящихся к классу фермионов. Такой газ называют газом Ферми в честь итальянского ученого Энрико Ферми (1901 — 1954). Стационарное состояние одной частицы идеального Ферми-газа описывается волновой функцией.

которая является решением уравнения Шредингера.

где s — энергия частицы. Это уравнение имеет несколько решений, которые образуют счетное множество. Иначе говоря, функции у? =.

являющиеся решениями уравнения (9.12), и соответствующие им значения энергии частицы можно перенумеровать.

Рассматриваемую систему частиц можно представить себе в виде совокупности подсистем, каждая из которых состоит из частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Так как состояния частиц могут изменяться с течением времени, число частиц в каждой из этих подсистем есть переменная величина. Выделим одну такую подсистему, все частицы которой находятся в состоянии, описываемом одной из волновых функций <�р =.

Согласно принципу Паули число N частиц в выделенной подсистеме, т. е. в одном состоянии ip = ^>(д), может быть или 0, или 1. При этом энергия подсистемы будет.

где е — энергия частицы в состоянии <�р =.

_} N = 0, 1.

Когда система находится в состоянии термодинамического равновесия, каждая ее часть также находится в состоянии равновесия. Равновесное состояние системы с переменным числом частиц характеризуется большим каноническим распределением (2.114). С учетом формулы (2.113) запишем это распределение так:

Аргумент X, характеризующий состояние частицы, в формуле (9.14) принимает всего одно значение, так как все частицы рассматриваемой где подсистемы находятся в одном состоянии. Поэтому этот аргумент можно отбросить. Подставим выражение (9.13) в формулу (9.14). Получим выражение При помощи обозначения.

этому выражению можно придать более простой вид:

Величина W (N) есть вероятность того, что в состоянии р = (p (q) находится N частиц.

Функция (9.17) принимает всего два значения:

Используя эти значения, условие нормировки.

можно записать так:

Из этого уравнения найдем нормирующий множитель.

Теперь вероятность (9.17) можно записать в виде.

По определению среднее значение числа частиц в подсистеме будет.

Согласно этой формуле среднее значение числа частиц в одном состоянии р =

равно вероятности 1^(1) того, что в этом состоянии находится одна частица. Значение W () найдем из формулы (9.20). В результате придем к соотношению.

которое с учет обозначения (9.16) можно записать так:

где 0=1/0- обратная температура. Выражение (9.23) содержит в себе только одну величину, которая характхеризует состояние частицы, — ее энергию е. Следовательно, среднее число N частиц-фермионов в одном квантовом состоянии зависит от энергии е частицы в этом состоянии. Определяемая формулой (9.23) зависимость N = N (е) называется функцией Ферми Дирака (Ноль Дирак (1902) — английский физик-теоретик). Температура Т и химический потенциал р являются характеристиками всей макроскопической системы частиц, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Таким образом, функция Ферми — Дирака содержит в себе в качестве параметров температуру и химический потенциал:

График этой показан на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Функция Ферми — Дирака

Нетрудно найти среднее значение энергии частиц в состоянии ip = p (q). Согласно формуле (9.13) будем иметь.

Найдем теперь термодинамический потенциал О. Используя формулы (9.15), (9.16) и (9.19), придем к зависимости.

где 9 = кТ. При помощи этой зависимости, но формуле (1.62).

можно найти энтропию системы. Несложные вычисления приводят к следующей зависимости энтропии от среднего числа частиц в одном квантовом состоянии:

Формулы (9.23), (9.24) и (9.26) позволяют найти среднее число частицфермионов в одном состоянии <�р =.

их среднюю энергию и энтропию. Частицы, образующие Ферми-газ, могут находится в различных состояниях. Среднее число частиц, их средняя энергия и энтропия являются аддитивными величинами, т. е. каждая из этих величии, характеризующих некоторую макроскопическую систему, равна сумме одноименных величин, характеризующих невзаимодействующие друг с другом подсистемы, из которых состоит данная макросистема. Перенумеруем состояния частиц, т. е. припишем номер j каждой волновой функции, являющейся решением уравнения Шредингера (9.12). Пусть j есть номер состояния частицы, описываемого посредством волновой функции = В этом состоянии частица обладает энергией ?j. Формулы (9.23), (9.24) и (9.26) теперь следует записать так:

Среднее число частиц идеального Ферми-газа, его внутренняя энергия и энтропия будет равны соответственно.