Задание 3. Выбор стратегии в теории игр

Условие: Решить игру графо-аналитическим методом игру, заданную платежной матрицей:

Решение: Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку.

Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max (a_i) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₂.

Верхняя цена игры b = min (b_j) = 5.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a? b, тогда цена игры находится в пределах 4? y? 5. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (2). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

• 1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B₁, правый — стратегии B₂ (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S₁ = (p₁, p₂).
• 2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B₁. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B₂.

Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A₂A₂ и A₃A₃, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 7 + (6 — 7) q₂

y = 3 + (7 — 3) q₂

Откуда.

q₁ = ¹/₅

q₂ = ⁴/₅

Цена игры, y = ³¹/₅

Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A₁, A₄, A₅, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p₁ = 0, p₄ = 0, p₅ = 0.

• 7p₂+3p₃ = y
• 6p₂+7p₃ = y

p₂+p₃ = 1.

или.

• 7p₂+3p₃ = ³¹/₅
• 6p₂+7p₃ = ³¹/₅

p₂+p₃ = 1.

Решая эту систему, находим:

p₂ = ⁴/₅.

P₃ = ¹/₅.

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (2), то вычтем это число из цены игры.

Цена игры: y = ³¹/₅ — 2 = ²¹/₅

Ответ:

Цена игры: y = ²¹/₅, векторы стратегии игроков:

P (0, ⁴/₅, ¹/₅, 0, 0), Q (¹/₅, ⁴/₅).

Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.

• ?a_ijq_j? v
• ?a_ijp_i? v

M (P₁;Q) = (7*¹/₅) + (-1*⁴/₅) = 0.6? v.

M (P₂;Q) = (5*¹/₅) + (4*⁴/₅) = 4.2 = v.

M (P₃;Q) = (1*¹/₅) + (5*⁴/₅) = 4.2 = v.

M (P₄;Q) = (3*¹/₅) + (-2*⁴/₅) = -1? v.

M (P₅;Q) = (2*¹/₅) + (1*⁴/₅) = 1.2? v.

M (P;Q₁) = (7*0) + (5*⁴/₅) + (1*¹/₅) + (3*0) + (2*0) = 4.2 = v.

M (P;Q₂) = (-1*0) + (4*⁴/₅) + (5*¹/₅) + (-2*0) + (1*0) = 4.2 = v.

Все неравенства выполняются как равенства или строгие неравенства, следовательно, решение игры найдено верно.