Собственные значения и собственные векторы матриц в задачах химической технологии

При решении некоторых задач химии и химической технологии, например, таких, которые сводятся к решению систем линейных дифференциальных уравнений или к решению уравнений статистической физики, используются понятия собственных чисел и собственных векторов матриц.

Собственным значением квадратной матрицы А называется число Я, удовлетворяющее уравнению

или в обычной форме записи матриц.

Если раскрыть определитель (48), называемый характеристическим, то уравнения (48) и (49) могут быть также записаны в форме алгебраического уравнения п-го порядка относительно А.:

Уравнение (50) называется характеристическим уравнением матрицы А, имеет в общем случае п комплексных корней, и, таким образом, квадратная матрица и-го порядка имеет п собственных значений.

Для собственного значения А, матрицы А можно записать однородную систему уравнений.

или.

которая имеет ненулевое решение и в случае, когда del А *0, поскольку в силу условия (51) определитель системы (49) равен нулю.

Решение системы (52) определяет вектор С ^w называемый собственным вектором матрицы А. Поскольку число собственных значений матрицы равно ее порядку, для каждого собственного значения можно найти собственный вектор, и, таким образом, для каждой квадратной матрицы А порядка п можно найти п собственных векторов С ^w (f = 1, 2, …, п), составляющих систему собственных векторов матрицы А. Так как собственные векторы удовлетворяют однородной системе уравнений (52), то компоненты каждого из них определяются с точностью до произвольного множителя.

Многие теоретические и прикладные задачи, в которых используются матричные представления, сводятся к вычислению собственных значений и собственных векторов матриц. Несколько примеров таких задач приводится ниже.

Пример. При выполнении матричных операций встречается задача вычисления функции f{x) от матричного аргумента.

Результат вычисления в свою очередь является матрицей.

Для функций, имеющих непрерывные высшие производные, можно воспользоваться разложением функции в ряд по степеням матрицы А:

Однако такой прием может потребовать большого объема расчетов из-за необходимости вычисления достаточного числа членов ряда (53), чтобы обеспечить необходимую точность представления функций /([Л]).

Поэтому при вычислении функций от матриц обычно используется теорема Сильвестра, согласно которой.

где Я,(/ = 1,2,…, я) — собственные числа матрицы А.

Формула (54) используется в тех случаях, когда все собственные значения матрицы А различны. Если же среди собственных значений матрицы А имеются кратные, то для вычисления функций от матрицы А необходимо использовать более общие методы.