Виды уравнений и неравенств и их решение

Решение уравнений вида.

По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

и.

В силу четности функции ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т. е. если — корень уравнения, то и также будет корнем данного уравнения.

Следовательно, достаточно решить лишь одну из этих двух систем.

• 2) Если, то уравнение f (x)=0
• 3) Если, то

Обратимся к примерам.

Пример 2.6.1: =1

— .

Ответ: 1;2.

Сделаем очевидные преобразования,.

откуда или. Из первого уравнения получаем, а из второго и .

Решению подлежат два уравнения:

и .

После преобразования (сложения) получим:

и.

и ,.

или.

Ответ: нет корней.

Пример 2.6.5:

Пример 2.6.6:

Пример 2.6.7:

.

.

2).

Неравенства вида |f (x)|а.

Простейшим неравенством, содержащим неизвестную величину под знаком модуля, является неравенство вида.

или.

или.

Пример 2.6.9: Решить неравенство.

Ответ:

Уравнения и неравенства вида ,

Уравнение и неравенство можно решать согласно общему методу. Однако бывает полезно заменить уравнение уравнением, т. е. уравнением, равносильно ему на его ОДЗ, а неравенство неравенством т. е. неравенством, равносильным ему на его ОДЗ.

Пример 2.6.10: Решить уравнение.

.

Пример 2.6.11: Решить уравнение.

.

По теореме Виета:

По теореме Виета:

Ответ:

Ответ:

Уравнение имеет корни, если g (х)?0.

Следовательно,.

Поэтому достаточно решить два уравнения и для найденных значений х проверить справедливость неравенства.

Так как, то.

Замечание. Можно решить уравнения и корни каждого из них проверить подстановкой в уравнение .

Пример 2.6.14: Решить уравнение.

.

Проверим справедливость неравенства для найденных значений х:

a) верное неравенство, значит 0 — корень данного уравнения.

b) неверное неравенство, значит — посторонний корень.

c) верное неравенство, значит — корень данного уравнения.

Пример 2.6.15: Решить уравнение.

.

Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений и.

Первое уравнение решений не имеет, а второе равносильно уравнению, имеющему единственный корень.

.

Ответ: .

Неравенства вида и.

Неравенство равносильно двум системам неравенств:

Аналогичные рассуждения верны и для.

a)

Ответ:

Уравнения вида

Решение такого вида уравнений основано на определении модуля числа. — функции (в частности, это могут быть многочлены, дробно-рациональные функции, тригонометрические функции и т. п.).

Для каждой функции находят область определения, её нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции (i=1,2,…, n) на промежутки, в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждого из найденных промежутков получим уравнение, подлежащее решению.

Пример 2.6.17: Решить уравнение.

1)

значит,.

не является корнем уравнения.

2)

значит,.

не является корнем данного уравнения.

3)

.

значит,.

является корнем уравнения.

Пример 2.6.18: Решить уравнение.

1)

значит, — является корнем уравнения.

значит, -14 не является корнем данного уравнения.

3)

значит, 18 не является корнем данного уравнения.

4)

значит, является корнем уравнения.

Ответ:

Неравенства вида.

(i=1,2,…, n) — функции, в частности многочлены, дробно-рациональные функции и т. д. Для каждой функции находят область определения, нули функции и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения на промежутки, в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак, т. е. решая неравенство на каждом промежутке без знака модуля, находим решение и объединяем их.

Пример 2.6.19: Решить неравенство.

• 1)
• 2)
• 3)

Ответ:. [8].