Виды уравнений и неравенств и их решение
I=1,2,…, n) — функции, в частности многочлены, дробно-рациональные функции и т. д. Для каждой функции находят область определения, нули функции и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения на промежутки, в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак, т. е. решая неравенство на каждом промежутке без знака модуля, находим решение и объединяем их. Для… Читать ещё >
Виды уравнений и неравенств и их решение (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Решение уравнений вида.
По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:
и.
В силу четности функции ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т. е. если — корень уравнения, то и также будет корнем данного уравнения.
Следовательно, достаточно решить лишь одну из этих двух систем.
1) Если, то уравнение не имеет корней.
- 2) Если, то уравнение f (x)=0
- 3) Если, то
Обратимся к примерам.
Пример 2.6.1: =1
— .
Ответ: 1;2.
Пример 2.6.2: Решить уравнения .
Сделаем очевидные преобразования,.
откуда или. Из первого уравнения получаем, а из второго и .
Ответ:2;4.
Пример 2.6.3: .
Решению подлежат два уравнения:
и .
После преобразования (сложения) получим:
и.
и.
и ,.
или.
Пример 2.6.4:
Решение. Так как при любом -7<0, то уравнение корней не имеет.
Ответ: нет корней.
Пример 2.6.5:
Решение. .
Ответ:
Пример 2.6.6:
Решение. .
Ответ:
Пример 2.6.7:
Решение
.
.
2).
Неравенства вида |f (x)|а.
Простейшим неравенством, содержащим неизвестную величину под знаком модуля, является неравенство вида.
или.
Пример 2.6.8: Решить неравенство.
Решение.
или.
Ответ:
Пример 2.6.9: Решить неравенство.
Решение.
Ответ:
Уравнения и неравенства вида ,
Уравнение и неравенство можно решать согласно общему методу. Однако бывает полезно заменить уравнение уравнением, т. е. уравнением, равносильно ему на его ОДЗ, а неравенство неравенством т. е. неравенством, равносильным ему на его ОДЗ.
Пример 2.6.10: Решить уравнение.
Решение
.
Ответ:
Пример 2.6.11: Решить уравнение.
Решение
.
По теореме Виета:
По теореме Виета:
Ответ:
Пример 2.6.12: Решить уравнение.
Решение.
Ответ:
Пример 2.6.13: Решить неравенство .
![Решение: ОДЗ этого неравенства есть все действительные. Неравенство равносильно неравенству , которое можно переписать в виде. Решением этого неравенства является любое действительное кроме. В самом деле, для любого , принадлежащего промежутку (-?;-], имеем и поэтому для любого такого. Для любого , принадлежащего промежутку (), имеем и , поэтому и В силу четности функции получаем, что все также являются решениями неравенства. Очевидно, что неравенству не удовлетворяют.](/img/s/9/57/1903457_94.png)
Решение: ОДЗ этого неравенства есть все действительные. Неравенство равносильно неравенству, которое можно переписать в виде. Решением этого неравенства является любое действительное кроме. В самом деле, для любого, принадлежащего промежутку (-?;-], имеем и поэтому для любого такого. Для любого, принадлежащего промежутку (), имеем и, поэтому и В силу четности функции получаем, что все также являются решениями неравенства. Очевидно, что неравенству не удовлетворяют.
Ответ:; .
Уравнения вида |f (x)|= g (x).
Уравнение имеет корни, если g (х)?0.
Следовательно,.
Поэтому достаточно решить два уравнения и для найденных значений х проверить справедливость неравенства.
Так как, то.
Замечание. Можно решить уравнения и корни каждого из них проверить подстановкой в уравнение .
Пример 2.6.14: Решить уравнение.
Решение.
.
Проверим справедливость неравенства для найденных значений х:
a) верное неравенство, значит 0 — корень данного уравнения.
b) неверное неравенство, значит — посторонний корень.
c) верное неравенство, значит — корень данного уравнения.
Ответ:; 0.
Пример 2.6.15: Решить уравнение.
Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные. Очевидно, что на ОДЗ, т. е. для любого действительного х,.
.
Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений и.
.
Первое уравнение решений не имеет, а второе равносильно уравнению, имеющему единственный корень.
.
Ответ: .
Неравенства вида и.
Неравенство равносильно двум системам неравенств:
Аналогичные рассуждения верны и для.
Пример 2.6.16: Решить неравенство.
Решение:
a)
Ответ:
Уравнения вида
Решение такого вида уравнений основано на определении модуля числа. — функции (в частности, это могут быть многочлены, дробно-рациональные функции, тригонометрические функции и т. п.).
Для каждой функции находят область определения, её нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции (i=1,2,…, n) на промежутки, в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждого из найденных промежутков получим уравнение, подлежащее решению.
Пример 2.6.17: Решить уравнение.
Решение:
1)
значит,.
не является корнем уравнения.
2)
значит,.
не является корнем данного уравнения.
3)
.
значит,.
является корнем уравнения.
Ответ:
Пример 2.6.18: Решить уравнение.
Решение:
1)
значит, — является корнем уравнения.
2).
значит, -14 не является корнем данного уравнения.
3)
значит, 18 не является корнем данного уравнения.
4)
значит, является корнем уравнения.
Ответ:
Неравенства вида.
(i=1,2,…, n) — функции, в частности многочлены, дробно-рациональные функции и т. д. Для каждой функции находят область определения, нули функции и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения на промежутки, в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак, т. е. решая неравенство на каждом промежутке без знака модуля, находим решение и объединяем их.
Пример 2.6.19: Решить неравенство.
Решение:
- 1)
- 2)
- 3)
Ответ:. [8].