Цилиндрическая симметрия. 
Физика. 
Механика. 
Электромагнетизм

Пусть распределение заряда таково, что р (х, у, z) = р (х² + у²), т. е. плотность не зависит от z, и на цилиндрической поверхности х² + у^г = R² будет р = const. Иначе говоря, плотность заряда р зависит только от расстояния до оси г, которая является осью симметрии (рис. 7.27). Поле будет обладать такой же симметрией: при поворотах вокруг оси z и при сдвигах вдоль этой оси оно будет переходить в себя. Таким образом, сразу можно утверждать, что эквипотенциальные поверхности — это цилиндрические поверхности х² + у² = R², а силовые линии — ортогональные к ним лучи (рис. 7.28), причем на поверхности цилиндра |/)| и |?| постоянны. Имеем:

где R = -Jx* + у² — расстояние от оси симметрии и п = '* ⁺ '^у —.

?Jx¹ + у²

единичный вектор нормали к поверхности цилиндра.

Обратимся снова к основному уравнению.

В качестве поверхности S возьмем поверхность цилиндра радиусом R и высотой Л, закрытого «крышками» S_t и S₂ (рис. 7.29). Для этой поверхности получим.

(при вычислении учтено, что интегралы по и S₂ равны нулю, так как на этих поверхностях D? п = 0, а на S₂ D® = const).

Интеграл в правой части (7.32) представляет заряд, заключенный внутри рассматриваемой поверхности. Он сводится к обыкновенному интегралу, если интегрировать по цилиндрическим слоям радиусом R и толщиной dR. Объем такого слоя равен InRdRh и.

Здесь 5® — заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра (линейная плотность заряда). Таким образом, уравнение (7.32) принимает вид.

Рис. 7.28 Рис. 7.29

откуда D® = 8®/2nR и.

Эта формула дает вектор индукции D на поверхности цилиндра радиусом R (для любого R). Для напряженности поля получим, как и ранее,.

Разность потенциалов между двумя цилиндрическими поверхностями радиусами Л, и Л₂

Задача 7.10. Пусть поле создается равномерно заряженным бесконечно длинным цилиндром радиусом R₀. Цилиндр охвачен цилиндрическим слоем диэлектрика радиусами Л, и R^. Найти поле во всем пространстве.

Решение. Математическое описание этой ситуации таково:

Формула (7.33) решает проблему. Дело сводится к вычислению 5®. Пусть R < R₀, тогда.

Если R > R₀, то.

Таким образом,.

График зависимости D® от R приведен на рис. 7.30. Обратите внимание на то, что поле убывает как 1 /R, в то время как при сферической симметрии оно убывает как 1 /г², т. е. быстрее. Для напряженности поля по формуле (7.34) находим.

Зависимость Еот R изображена на рис. 7.31. Обратите внимание на провал в области Л, < R < R₂ — диэлектрик ослабляет поле за счет поляризации.

Для разности потенциалов между осью симметрии и поверхнос;

Л тью R = const по формуле (7.35) находим ф (о)-ф (Л) = |E (R')dR';

о.

1) в области 0 < R< R₀

2) в области Л₀ < R < Л,.

3) в области Л, < R < R₂

4) в области R > R₁

На рис. 7.32 представлен график зависимости разности потенциалов от R. Видно, что разность потенциалов нарастает с ростом R, причем при Л-х" <�р (0) — <�р®

Этот факт является верным признаком того, что рассматриваемая ситуация физически нереализуема. Бесконечно длинный цилиндр будет иметь бесконечно большой заряд. Однако полученные результаты не лишены смысла. Они верны в окрестности достаточно длинного цилиндра.

Задача 7.11. Два проводящих коаксиальных (с общей осью) цилиндра с радиусами R_t и и длиной / подключены к источнику, который создает между ними разность потенциалов U (рис. 7.33). Найти поле во всем пространстве.

Рис. 7.33.

Решение. Если (Л, — R_t)/l" 1, приближенно верны формулы для цилиндрической симметрии. Имеем:

Отсюда D® = 0 при R < R_t ч R > R_r (Первое — потому что внутри цилиндра R_t зарядов нет вообще, второе — потому что суммарный заряд цилиндров равен нулю.).

В интервале [Л, /у 6(А) = qjl, где q_t — заряд внутреннего цилиндра, и между цилиндрами D® =, напряженность поля.

?(Л)=_1.

^v ' 2nc₀RI

Для разности потенциалов между цилиндрами получим.

Отсюда определяем.