Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа

Примеры двумерных дифференциальных уравнений параболического типа

В разделе 1.6 мы рассматривали математическую модель трубчатого реактора с продольным и поперечным перемешиванием, в котором протекает простая необратимая реакция. Баланс по концентрации исходного реагента для нестационарного режима имеет вид:

где k — константа скорости химической реакции; с — концентрация исходного реагента; v — линейная скорость потока; х — координата по длине реактора; г — координата по радиусу реактора; D_L, D_R — коэффициенты диффузии в продольном и поперечном направлениях.

Данное уравнение является двумерным дифференциальным уравнением параболического типа. Его двумерность обусловлена тем, что концентрация компонента X — функция трёх переменных, две из которых являются пространственными координатами:

Другим примером двумерного дифференциального уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности для нестационарного двумерного температурного поля:

где Т — температура; х_уу — пространственные координаты; С_т, р, X — теплоёмкость, плотность и теплопроводность материала; q — внутренний источник (сток) теплоты.

Уравнение вихря скорости, являющееся преобразованием уравнения Навье-Стокса, — ещё один пример двумерного дифференциального уравнения параболического типа:

Очевидно, в математических моделях физико-химических и химико-технологических процессов встречаются не только одномерные, но и двумерные дифференциальные уравнения, для численного решения которых требуется особый подход. В настоящей главе рассмотрим двумерные дифференциальные уравнения параболического типа, не содержащие производных по координатам первого порядка. Следующая глава будет посвящена двумерным дифференциальным уравнениям в частных производных 1-го порядка и двумерным дифференциальным уравнениям параболического типа, содержащим первые производные по координатам.