Средние значения функций

Знание вероятности локации частицы в состоянии и вероятности импульса частицы в этом же состоянии позволяет сразу записать среднее значение любой функции от координат.

и любой функции от импульса микрочастицы для состояния, изображаемого функцией Согласно определению среднего значения случайной величины имеем:

при условии.

при условии.

Приведённые формулы допускают важное преобразование, основанное на свойствах интеграла Фурье. Пусть и есть целые рациональные функции. Тогда формулы для средних значений могут быть переписаны в виде:

=

_x, p_y, p_z) =

.

Эти формулы означают, что аргументы функции F надо заменить символами дифференцирования по указанным аргументам, умножить на ±i и выполнить операцию дифференцирования над стоящей позади функцией. Например, для вычисления среднего значения компоненты импульса р_х поступаем так: следовательно.

Или.

Для волны де Бройля.

получаем.

Так какединственная составляющая, то.

Статистические ансамбли

В квантовой области нельзя повторить любой опыт на одной и той же микрочастице. Поэтому для воспроизведения большого числа (>>1) одинаковых (тождественных) опытов необходимо представить себе большое число частиц (или систем), которые независимо друг от друга находятся в одинаковых макроскопических условиях. Такой набор микрочастиц (или систем) называют квантовым ансамблем частиц.

Если макроскопические условия таковы что они полностью определяют состояния микрочастиц, то состояние таких частиц может быть охарактеризовано одной волновой функцией. Сам ансамбль в этом случае есть чистый ансамбль. Зная функцию, можно вычислить вероятность не только для координат и импульсов, но и вообще найти вероятности для того или иного результата измерения любой механической величины, свойственной данной микрочастице или системе.

Надо заметить, что состояние микрочастицы, характеризуемое волновой функцией, следует понимать, как принадлежность частицы (системы) к определённому чистому ансамблю.

В действительности часто встречаются случаи, когда ансамбль содержит микрочастицы в различных состояниях, описываемых функциями При этом заданы вероятности каждого из этих состояний. Такой ансамбль называется смешанным. Величины указывают вероятность встретить в смешанном ансамбле чистые ансамбли, характеризуемые соответствующими функциями .

Отметим одно существенное различие чистого и смешанного ансамблей. Из одних и тех же волновых функций может быть образован как чистый, так и смешанный ансамбль. Действительно, если даны частные состояния то из них может быть образована функция как суперпозиция этих состояний, которая описывает чистый ансамбль:

.

В суперпозицию частные состояния входят с определёнными фазами и амплитудами (С другой стороны, если известно, что система может находиться в состоянии с вероятностью, в состоянии с вероятностью и т. д., то мы имеем дело со смешанным ансамблем, для характеристики которого нужно иметь два ряда величин.

…

…

Вычислим теперь вероятность того, что частица находится в точке х. В случае чистого ансамбля получим для плотности вероятности.

В смешанном же ансамбле эта вероятность должна быть вычислена так: вероятность того, что частица находится в точке х, будучи в состоянии, есть; вероятность же находиться в состоянии есть. Поэтому вероятность этого сложного события будет, а полная плотность вероятности равна.

.

Видим, что в чистом ансамбле имеет место интерференция отдельных частных состояний, а в смешанном ансамбле её нет. Это различие аналогично сложению когерентного и некогерентного света: в чистом ансамбле складываются амплитуды, в смешанном — интенсивности.