Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений

Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс общее решение однородного уравнения. Частное решение уравнения (8.1) равно E/R (Е — постоянная ЭДС).

Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем правую часть равной нулю. В нашем случае.

Решением однородного уравнения является показательная функция вида AeP^f.

Для всех переходных процессов условимся, что момент t — 0 соответствует моменту коммутации.

Постоянные А и р не зависят от времени. Без вывода дадим их значения для рассматриваемого примера:

Следовательно, решение уравнения (8.1) запишется так:

Е —t.

где E/R — частное решение неоднородного уравнения (8.1); —г l —.

R

общее решение однородного уравнения (8.2). Подстановка (8.3) дает тождество.

Следовательно, выражение (8.3) действительно является решением уравнения (8.1).

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принужденной составляющей тока (напряжения), а полное решение однородного уравнения — свободной составляющей. Применительно к рассмотренному примеру принужденная составляющая тока.

Е —t

i_np = E/R, а свободная составляющая i_CB = —е l. Полный ток i = i_np + /_св.

R

Кроме индексов «пр» (принужденный) и «св» (свободный) токи и напряжения могут иметь и дополнительные индексы, соответствующие номерам ветвей на схеме.

Принужденная составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС с частотой со, то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является, соответственно, синусоидальным током (синусоидальным напряжением) частоты со.

Определяются принужденные составляющие в цепи синусоидального тока с помощью символического метода (см. гл. 3). Если в схеме действует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме на рис. 8.2), то принужденный ток есть постоянный ток и находят его с помощью методов, рассмотренных в гл. 2.

Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напряжения на индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю.

В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону еР^f.

Е —t

Так, в рассмотренном примере ^ = —е l . С увеличением времени t

R

_R

множитель е l быстро уменьшается. Название «свободная» объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).

Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное значение имеют полный ток и полное напряжение.

Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряжение — это напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при переходном процессе. Его также можно измерить и записать на осциллограмме.

Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные величины.

Здесь следует еще раз обратить внимание на тот факт, что при любых переходных и установившихся процессах соблюдают два основных положения: ток через индуктивную катушку и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком^[1].

• [1] Иногда эти положения формулируются так: потокосцепление индуктивнойкатушки и заряд конденсатора могут изменяться только плавно, без скачков. Дальнейшее обобщение законов коммутации дано в параграфе 8.28.