Полиномиальная лаговая структура Алмон

При большом, но конечном числе лагов q возможно сокращение количества параметров модели (7.31) посредством репараметризации, называемой полиномиальной структурой Алмон [2, 28]. Это преобразование заключается в представлении каждого параметра в виде полинома k-й степени:

При этом предполагается, что порядок полинома k значительно меньше числа лагов q (на практике в большинстве случаев достаточно ограничиться полиномами третьей степени).

Подставив выражение (7.36) в модель (7.31), получим.

Перегруппируем слагаемые в выражении (7.37):

Введем новые переменные.

причем при i-j — 0 считается, что 0° = 1.

В результате уравнение (7.38) преобразуется к уравнению Алмон:

Параметры уравнения Алмон можно оценивать с использованием обычного МНК, а исходную лаговую структуру легко получить по соотношениям (7.36).

Интерпретация параметров моделей с распределенными лагами

Рассмотрим уравнение модели с распределенными лагами при конечном q

Из вида уравнения очевидно, что если в момент времени t произойдет изменение независимой переменной x (t), то оно будет влиять на отклик до момента времени (t + q).

Предположим, что в момент времени t переменная x (t) увеличилась на единицу. Изменение зависимой переменной в момент времени t, вызванное этим событием, будет равно величине параметра 0₍₎. В связи с этим параметр 0₍₎ называют краткосрочным мультипликатором. В следующий момент времени (? + 1) воздействие единичного изменения x (t)

приведет к изменению отклика на величину (0_О + 0₁), в момент (t + 2) — на величину (0_О + + 0₂), и так до момента (t + q), где изменение составит (0_О + 0, + 0₂+ … + 0). Величины (0_{) + 0_t), (0_О + 0, + 0₂),…, (0_О + 0_t + 0₂+ … + 0 ,).

называют промежуточными мультипликаторами, а (0_О + + 0₁ + 0₂+ … + 0_г) — долгосрочным мультипликатором.

Если все коэффициенты 0_О, 0_р …, 0^ неотрицательны, то, используя нормированную лаговую структуру, можно рассчитать средний и медианный лаги. Средний лаг представляет собой взвешенное среднее всех лагов модели и вычисляется по формуле.

В частности, для лаговой структуры Койка средний лаг равен

Медианный лаг — это период времени, в течение которого будет реализована половина общего воздействия независимой переменной на отклик. Он определяется как минимальное значение q, для которого выполняется условие.

Для лаговой структуры Койка медианный лаг равен.

Небольшие величины среднего и медианного лагов свидетельствуют о том, что отклик относительно быстро реагирует на изменения независимой переменной, а большие величины этих лагов — об относительно медленном реагировании.