Разновидности математических моделей

Динамические модели

Динамические модели стали развиваться во многом благодаря развитию вычислительной техники, так как связаны с необходимостью решать большое число (сотни) уравнений за короткий промежуток времени. Эти уравнения являются более или менее сложными математическими описаниями того, как функционирует исследуемая система и даются они в форме выражений для «уровней» различных типов, «темп» изменения которых регулируется управляющими функциями. Уравнения для уровней описывают накопление в системе таких, например, величин, как вес, количество энергии, количество организмов, а уравнения для темпов управляют изменением этих уровней во времени. Управляющие функции отражают правила, регулирующие функционирование системы. В динамических моделях часто используются уравнения неразрывности — соотношения между потоками переменной в какую-то часть системы и из нее со скоростью изменения этой переменной.

Пример 4. Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта.

Обозначим известные величины:

c _i — спрос населения на i-й продукт (i=1,…, n);

a _ij — количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы jго продукта по данной технологии (i=1,…, n; j=1,…, n);

Обозначим неизвестные величины:

х _i — объем выпуска i-го продукта (i=1,…, n);

Совокупность с =(c₁ ,…, c_n) называется вектором спроса, числа a_ij — технологическими коэффициентами, а совокупность х =(х₁ ,…, х_n) — вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с) и на воспроизводство (вектор х-с). Вычислим ту часть вектора х которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х_j количества j-го товара идет a_ij · х_j количества i-го товара. Тогда сумма a_i1 · х₁ +…+ a_in · х_n показывает ту величину i-го товара, которая нужна для всего выпуска х =(х₁ ,…, х_n). Следовательно, должно выполняться равенство:

х_i — с_i = ai1 · х₁ +…+ a_in · х_n

Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

х₁ — с₁ = a₁₁ · х₁ +…+ a_1n · х_n

х₂ — с₂ = a₂₁ · х₂ +…+ a_2n · х_n

х_n — с_n = a_n1 · х_n +…+ a_nn · х_n

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х₁ ,…, х_n и найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная (nxn) —матрица, А называется технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так: х-с=Ах или хАх = с.