Еще раз о понятии функции

Анализ разных подходов к понятию функции проведен В. А. Успенским в предисловии [75] к книге [90], библиографию вопроса можно найти у Медведева Ф. А. [51]. Болес 100 лет назад в 1899 году Эмиль Пикар (24.7.1856−11.12.1941) говорил, что «…общее понятие функции весьма неопределенно, и мы можем получить сколько-нибудь значительные результаты только при помощи некоторых ограничений» ([58, с. 22]). К такому типу ограничений можно отнести сложившуюся традицию, пришедшую от Н. Бурбаки [7] во все учебники и основания анализа. По этой традиции происходит отождествление функции /: X —> Y с ее графиком Gr_f ={(x, f (x): хеX)}.

Даже невооруженным глазом в этой записи виден «порочный круг»: функция / отождествляется с графиком Gr_f функции / а график Grj

функции/определяется через множество {/(*): xs X} значений функции/ И, по нашему мнению, здесь дело не в плохой записи, причины глубже. Недостатки этой традиции мы видим в следующем.

Во-первых, нет никакой необходимости в учебниках (и не только в учебниках!) смешивать два исторически сложившихся различных понятия: понятие функции и понятие графика функции. Во-вторых, аксиома пары и аксиома степени (см. п. 3.7.3) гарантируют существование подмножества G={(x, y): х е X, у eY} и не более. А задать или выделить из произвольного отношения G czX xY функциональное отношение Gr_f

нельзя, не обратившись к Аксиоме выбора. Не постулируется существование функции и в аксиоме подстановки, гарантирующей для каждого множества X и функции f заданной на X, существование лишь множества Р, содержащего все объекты /(х) для х g X. Кроме того, в-третьих, перечислением можно задать лишь конечное множество пар. Для задания счетного множества М пар т = (л,/(п)), нужно правило/или формула//?), п е N.

Поскольку аксиома выбора часто игнорируется даже и не в учебных курсах, то очевидно, с нашей точки зрения, неполноценное, научно не достаточно обоснованное введение одного из основных понятий курса математики, при котором либо слушателям или читателям предлагается «круг», либо происходит апелляция к их опыту или интуиции. Наш вариант введения понятия функция начинается следующей аксиомой.

Аксиома существования функции (АФ).Для любых двух множеств X и Y существуют два такие множества F и G, что для каждой пары (х, у) е X х Y найдется такая пара (/, g)e F xG, что пара (/, х) с

точностью до метаязыкового символа = совпадает с элементом у, а паР^а (&> У) — ^с элементом х. Элементы множества F (множества G) при этом называем функциями, заданными в X (в Y) со значениями в Y (в X).

Множество F (множество G) обозначают обычно символом Y^x (Х^у) по традиции, идущей от теории отображений конечных множеств, где этот символ определяет количество отображений множества X (множества У) во множестве Y (во множество X).

Вводя общепринятый символ /(*)=(/, х), графиком функции / назовем множество

Множество D_f = Pr,(G/y) назовем областью определения функции/ а множеством значений функции / или полным образом множества D_f для/назовем множество.

Легко видеть, что/?^ = Рг_п((3/у). Наконец, равенство у-fix), х € Df, мы будем называть уравнением графика функции/.

«Однозначность» функции f: X->Y, вводимой с помощью АФ, является теоремой. Действительно, допустим противоположное, т. е. что для двух различных пар (х, у) и (x₉z) из X х Y найдется одна и та же такая пара (/, g), что y-{f>x), z=(Jx) и, соответственно, x=(g, у), x=(g, z), Тогда из аксиомы пары следует, что у — z (или y=z, что можно понимать как два символа одного и того же элемента).

В книге [39] ее авторы академик А. Н. Колмогоров и профессор А. Г. Драгалин этот способ введения понятия функции описали на стр. 21 одной краткой фразой «Для любых множеств М_х, М₂ существует множество (А/, —> М•>) всех отображений из М_х в А/₂».