Теорема пикара. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

В гл. VI, § 2, п. 6 мы исследовали поведение однозначной функции в окрестности существенно особой точки, установив предложение Вейерштрасса. Эта теорема показывает, что в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки функция принимает значения, сколь угодно близкие к любому наперёд заданному числу. Как было там же упомянуто, Пцкар доказал более общее и глубокое предложение: в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки функция f{z) принимает (и притом бесконечное число раз) любое конечное значение, за исключением, быть может, одного. Эта замечательная теорема будет установлена в конце настоящей главы.

Предложение Блоха

Теорема об обращении голоморфной функции.

Рассмотрим функцию w = F (z), голоморфную при z причём Пусть /=40) = 0.

и | /^(0) | = а > 0.

Тогда существует такое число Ф, зависящее только от М и от произведения aR, что в круге |о>|<�Ф функция, обратная w=F{z), будет однозначной и по модулю меньшей, чем R.

Для доказательства этой теоремы будем исходить из разложения F (z) в ряд Тэйлора:

Коэффициенты разложения удовлетворяют неравенствам Коши (гл. V, § 2, п. 8):

откуда, в частности:

На окружности z=r, 0

При г= р = Я ^1— |/ Функция у (г) имеет максимум, равный.

Последнее число' удовлетворяет всем условиям теоремы. Действительно, для всякого w, меньшего по модулю, чем Ф, уравнение F (z) — w = 0 имеет, по теореме Руше, в круге z < р столько же корней, сколько их имеет в этом круге уравнение /^(г)=0. Но последнее имеет только один корень z = О, ибо при 0 < | z 1< р

Кроме того, Ф представляет функцию от М и aR^ Итак, для всякого w_t принадлежащего кругу | w | < Ф = уравнение F (z) = w

имеет одно и только одно, удовлетворяющее неравенству |г|< р<�Я, решение. Теорема доказана.

Заметим, что в силу неравенства (1).

и.

(гак как 1)^а = 3 + 2 V~2 < 6).

Следовательно, выражение (2) можно заменить более простым и также удовлетворяющим условию теоремы выражением: