Решение методом неопределенных коэффициентов

Пример 1.

Решение:

Решая характеристическое уравнение системы:

находим корни. Собственными векторами, отвечающими найденным собственным значениям, будут соответственно:

.

.

Следовательно, общее решение соответствующей однородной системы имеет вид:

Теперь найдем частное решение. В рассматриваемом случае элементы столбца свободных членов представляют собой многочлены степени, не превышающей 1, и так как число г=0 не совпадает с корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородной системы будем искать в виде:

.

Где p, q, c и d — некоторые постоянные. Для их определения подставим выражение для в исходную систему. Получим:

Отсюда:

Решив эту систему, находим p=1, q= -1, c= -2 и d=1. Следовательно,.

.

Так как общее решение неоднородной системы уравнения Y представляет собой сумму частного решения и общего решения соответствующей однородной системы, то окончательно получаем:

Пример 2.

Решение:

Решая характеристическое уравнение системы:

Его корни будут. Им соответствуют собственные векторы:

.

.

Следовательно, общее решение соответствующей однородной системы имеет вид:

Теперь найдем частное решение. В рассматриваемом случае число г= 1 совпадает с корнем л1 характеристического уравнения (резонансный случай). Так как элементы столбца свободных членов представляют собой многочлены нулевой степени, частное решение неоднородной системы будем искать в виде:

где p, q, c и d — некоторые постоянные. Подставим выражение для в исходную систему. Получим:

Отсюда:

Решив эту систему, находим:

Полагая с =1, получаем d = 5. Следовательно,.

Таким образом, общее решение системы имеет вид: