Векторная терминология и обозначения

Итак, пусть нам дана система.

Нетрудно понять, что писать каждый раз столь громоздкие выражения неудобно. Поэтому мы для упрощения используем один из самых древних чисто математических приемов обозначение сложного выражения или обьекта одной буквой, а именно, набор чисел (х, Х2,? ??, х_п) мы будем представлять как нечто единое целое, которое будем обозначать буквой х и называть вектором. Сами ж* будем называть компонентами вектора. Соответственно, набор функций (ад (t), X2(t),…, x_n(t)) естественно тоже обозначать одним символом х (?) и называть векторфункцией. Наконец, набор функций.

естественно обозначить просто через f (i, x) и называть векторной функцией векторного аргумента.

Если для векторов ввести операции сложения и умножения на число, выполняемые покомпонентно, то окажется, что для наборов функций основные арифметические выражения, используемые в дифференциальном и интегральном исчислении, отношение приращений и интегральная сумма могут быть записаны соответственно как отношение приращения вектора к приращению аргумента или интегральная сумма, состоящая из векторов:

Если к тому же мы во множестве векторов введем покомпонентный предельный переход (последовательность векторов х^ назовем сходящейся к вектору х в том и только в том случае, когда каждая из последовательностей х?! сходится к соответствующей компоненте ж, вектора х), то окажется, что набор производных от функций Х{ и набор интегралов от этих функций тоже могут быть записаны как производная и интеграл от вектор-функции:

После таких «нововведений⁴⁴³ наша система (17.8) приобретет удивительно простой вид:

Внешне она практически ничем не отличается от обычного скалярного уравнения первого порядка. Для того, чтобы не возникало путаницы, в векторном уравнении обычно пишут дополнительно, что х вектор из п компонент: х € IRⁿ. При этом через IRⁿ обозначают не просто множество векторов, а множество, в котором уже предполагаются заданными операции сложения, умножения на число и сходимость, причем последнюю (чтобы не «возвращаться¹¹ каждый раз к покомпонентной сходимости) описывают обычно в терминах так называемой нормы вектора (это аналог длины вектора из двухи трехмерной геометрии). Норма, то есть длина вектора, может в разных ситуациях пониматься по-разному. Наиболее известные нормы это.

Понятие нормы уже обсуждалось в курсе алгебры, поэтому мы не будем на нем подробно останавливаться, однако отметим важный факт: все указанные нормы эквивалентны, т. е. сходимость x^fc к х в смысле одной нормы и в смысле любой другой нормы означают одно и то же покомпонентную сходимость. Разные же варианты норм используются в зависимости от удобства тогда, когда, эту сходимость надо описать более точно, дав количественные характеристики.