Правила округления чисел

Определение. Округлением данного числа а (точного или приближенного) называется замена его числом b с меньшим количеством значащих цифр. Эта замена производится таким образом, чтобы погрешность округления, а — b была минимальной.

Для округления числа до n-й значащей цифры отбрасывают все его цифры справа, начиная с п+1-й, или, при необходимости сохранения разрядов, заменяют их нулями. Указанное отбрасывание цифр осуществляется по следующим правилам округления:

• 1. если п+1-я цифра больше 5, то к п-й цифре прибавляется единица;
• 2. если п+1-я цифра меньше 5, то все оставшиеся цифры сохраняются без изменения;
• 3. если п+1-я цифра равна 5 и среди отбрасываемых цифр имеются ненулевые, то к п-й цифре прибавляется единица;
• 4. если п+1-я цифра равна 5, а все остальные отбрасываемые цифры равны нулю, то п-я сохраняется без изменения, если она четная, и к п-й прибавляется единица, если она нечетная.

Иными словами, если при округлении числа отбрасывается меньше половины единицы последнего сохраняемого десятичного разряда, то цифры всех сохраненных разрядов остаются неизменными; если же отброшенная часть числа составляет больше половины единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то цифра этого разряда увеличивается на единицу. В исключительном случае, когда отброшенная часть в точности равна половине единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то для компенсации знаков ошибок округления используется правило четной цифры.

Очевидно, что при применении правила округления погрешность округления не превосходит 0,5 единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Пример. Округлить число 7,18 342 950 до восьми, семи и шести значащих цифр.

Соответствующие округленные числа равны: 7,1 834 295 (по правилу 2), 7,183 430 (по правилу 4), 7,18 343 (по правилу 2).

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. В тех случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению. Обычно руководствуются следующим практическим правилом: при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более чем на одну или две единицы. Окончательный результат может содержать не более чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верными.

Приведенное правило позволяет без ущерба точности вычислений избегать написания лишних цифр и значительно экономит время вычислений. Сохранение запасных знаков имеет тот смысл, что обычно оценка погрешностей результатов производится для наихудших вариантов, и фактическая погрешность может оказаться значительно меньше максимальной теоретической. Таким образом, во многих случаях те значащие цифры, которые считаются неверными, на самом деле являются верными.

Приходится также иногда округлять и точные числа, содержащие слишком много или бесконечное количество значащих цифр, сообразуясь с общей точностью вычислений.