Уравнение шрёдингера. 
Планетарная модель атома

Квантовая механика является фундаментом изучения строения вещества, она позволила выяснить природу химической связи и объяснить периодическую систему элементов. Только на основе квантовой механики удалось объяснить такие явления как ферромагнетизм, сверхтекучесть и сверхпроводимость.

Одной из задач квантовой механики является определение вероятности нахождения какой-то микрочастицы (электрона, протона и др.) в некоторой системе, например, в атоме, т. е. нахождение волновой функции, или точнее —. В квантовой механике существует основное уравнение, называемое уравнением Шрёдингера, решая которое можно это сделать. Данное уравнение играет такую же фундаментальную роль, как второй закон Ньютона в механике. Уравнение Шредингера не выводится (так же, как не выводятся и законы Ньютона), а постулируется. Однако понять, почему оно имеет такой, а не другой вид, можно, исходя из аналогии механики и классической волновой теории. В самом общем случае волновая функция зависит как от координат, так и от времени. Рассмотрим случай стационарной системы, т. е. системы, не меняющейся со временем, какой, например, является атом в обычном не возбуждённом состоянии. В этом случае уравнение Шрёдингера выглядит наиболее просто (для одной координаты):

В трёхмерном случае:

где.

оператор Лапласа, W — полная энергия системы, U потенциальная энергия системы, m масса частицы, h постоянная Планка.

С математической точки зрения оно является уравнением в частных производных. Из этого уравнения вытекает квантование энергии. Оказывается, что уравнение Шрёдингера, составленное для какой-то атомной системы, имеет решение не при любых значениях полной механической энергии W, а лишь при некоторых вполне определённых дискретных значениях W1, W2,…, Wn, которые называются собственными значениями энергии. Каждому собственному значению энергии соответствует своё решение, т. е. своя функция, называемая собственной функцией. Таким образом, в процессе решения уравнения Шрёдингера находится энергия атомной системы, а пси-функция, которой определяет вероятность местонахождения частиц системы. Нахождение собственных значений энергии собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу. Поэтому точно аналитически решается только задача об атоме водорода. Другие более сложные случаи решаются численными методами на ЭВМ.