Пусть движение точки, А по заданной траектории происходит согласно уравнению S f (t), требуется определить скорость точки в момент времени t (6.8). положение точки А1;
За время точка t проходит путь L S S1 S.
За промежуток времени t точка прошла путь L S S1 S, значение средней скорости на этом пути, но оно отличается от значения скорости в момент времени t. Скорость в заданный момент t.
т. е. значение скорости точки, движение которой задано естественным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени.
Направление скорости, как отмечалось выше, известно заранее.
Определение ускорения точки при естественном способе задания ее движения
Вектор a — ускорение точки в данный момент (6.9, а) — есть геометрическая сумма касательного a и нормального an ускорений:
Нормальное (а) и касательное (б) ускорения точки Вектор a в любой момент времени направлен по касательной (6.9, б), поэтому вектор a называется касательным, или тангенциальным ускорением. Модуль касательного ускорения a d f (t), dt равный производной от скорости в данный момент по времени или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризует быстроту изменения значения скорости.
Доказано, что вектор an в любой момент времени перпендикулярен касательной, поэтому он называется нормальным ускорением: an с .
Значит, модуль нормального ускорения пропорционален второй степени модуля скорости в данный момент, обратно пропорционален радиусу кривизны траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения направления скорости.
Модуль ускорения.
a a 2 an2 ,.
а направление a (угол (a, V)) находим с помощью тригонометрических функций по одной из следующих формул:
|
движения находится. | в начале отсчета расстояний, уравнение рав. | |
номерного движения упрощается: S | t . | |
Если a0 и an | 0, то движение точки называется равномер |
ным прямолинейным. Если a0 и an | 0, то точка движется рав. | |
номерно по криволинейной траектории. | | | | | | |
Равномерное движение точки по окружности. |
| | | | | | | | | |
При таком движении (6.10). | a | 0 и. | an | | | const, так. | |
| | | | | | | |
| | | | | | | | с. | |
как при равномерном движении. | | const ,. | а при движении по. | |
окружности с r | const. Из формулы. | S | S 0. | t скорость рав. | |
номерного движения по окружности. | | | | | | | | |
| | S | S0. | . | | | | | | |
| | t | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
|
Если принять t = Т — периоду, т. е. времени одного обхода точкой окружности, то S S 0 2рr.
Б. Если равноускоренное движение точки начинается из начала отсчета траектории (S0 = 0) и без начальной скорости (0 0), то предыдущие формулы приобретают более простой вид:
Примерами такого движения могут служить движение автомобиля при трогании с места или движение самолета на взлетной полосе, а также известное из физики свободное падение тел.
В. При свободном падении a a g 9,81 м с2. В этом случае, если в формулах из пункта (Б) S заменить высотой падения Н, то формулы примут вид gt; H gt22; 2 H 2g; H 2t. Предпоследняя из этих формул, представленная в виде 2gH, называется формулой Галилея.
