Упрощение постановки теоремы Римана

Пусть Т — единичный круг плоскости w; известно, что путём линейного преобразования можно единичный круг отобразить сам на себя так, чтобы при этом два заданных линейных элемента (т. е. две точки и направления через каждую из них) переходили друг в друга. Поэтому, если мы вообще отобразим область G на единичный круг, то всегда возможно это отображение нормировать так, чтобы заданный линейный элемент в области G переходил в нулевую точку единичного круга и направление положительной действительной оси. Если мы теперь — а это не представляет никакого ограничения общности — область G расположим в плоскости z так, что заданный линейный элемент совпадает с нулевой точкой и направлением положительной действительной оси плоскости z_y то это для отображающей функции w=/(z) равносильно требованию:

Чтобы подчеркнуть общность теоремы Римана, покажем, что область О не может быть конформно отображена на внутренность единичного круга в двух случаях, а именно, когда О есть полная плоскость или плоскость с выключенной точкой. Рассмотрим функцию w=f (z)_y относительно которой мы допустим, что она даёт взаимно однозначное и конформное отображение на внутренность единичного круга целой плоскости z или плоскости с выключенной точкой. Эту последнюю точку мы можем считать за бесконечно удалённую точку плоскости z, так как этого всегда возможно достигнуть путём линейного преобразования. Очевидно, функция f (z) должна быть целой функцией; но, с другой стороны, эта функция ограничена, так как выполняет отображение на единичный круг плоскости w. Таким образом, согласно предложению Лиувилля (гл. V, § 2, п. 9) f (z) есть постоянное, что невозможно.

Следовательно, исключая эти два случая, мы должны будем предположить, что отображаемая область G имеет на границе, но крайней мере две различные точки (соответствующие числовым значениям z = a и z = b), а следовательно, благодаря односвязности она обладает связным граничным множеством, соединяющим обе эти точки.

При помощи преобразования.

мы можем область О конформно отобразить на область G* плоскости z*_y причём кусок плоскости z* будет вне области G*. В самом деле, мы можем рассматривать область G как часть, расположенную в одном листе двулистной римановой поверхности с двумя точками разветвления z = a и z = b эта риманова поверхность, включая её точки разветвления, переходит с помощью вышеописанного преобразования в полную плоскость.

Пусть с есть точка плоскости z*, которая лежит вместе со своей достаточно малой окрестностью | z* — с | р вне области G*. Тогда мы получим посредством линейного преобразования? = •—j— из области G* новую область, которая будет целиком лежать внутри конечного круга. Ясно, что путём параллельного переноса и подобного преобразования этого круга мы нашу область, наконец, переведём в область, лежащую внутри единичного круга и содержащую начало координат внутри себя.

Поэтому при доказательстве предложения Римана мы, не уменьшая его общности, будем предполагать, что отображаемая область О лежит внутри единичного круга и содержит нулевую точку.