Обучение доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах

Актуальность исследования. Отечественная система образования является важным фактором сохранения места России в ряду ведущих стран мира, ее международного престижа как страны, обладающей высоким уровнем культуры, науки, образования.

В «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» подчеркивается, что современное общество нуждается в воспитании самостоятельного, ответственного, думающего человека. Направленность на формирование этих качеств должно быть главным приоритетом учебно-воспитательного процесса в российских школах.

Успешность реализации модернизации российского образования в значительной мере определяется системой работы с одаренными детьми.

Анализ современной педагогической литературы показывает, что большинство стран мира выносит вопросы формирования интеллектуальной элиты общества в приоритетные задачи развития образования. В нашей стране на федеральном, региональном и муниципальном уровнях также активно поддерживаются и реализуются целевые программы «Одаренные дета».

Количество одаренных детей, по мнению различных исследователей, колеблется от 5 до 15 процентов от общего числа школьников, что для Рязанской области составляет в среднем около 16 тыс. человек, причем около 10 тыс. из них живут в г. Рязани.

Значительную часть одаренных учащихся занимают дети, увлекающиеся предметами естественно-математического цикла (математика, физика, химия, биология). Не случайно, что именно по этим предметам российские школьники являются лидерами международных олимпиад.

Таким образом, важность формирования интеллектуальной элиты общества для развития современной России и сохранения ее в ряду ведущих государств мира, и наличие достаточно большой группы российских школьников, имеющих способности и проявляющих особый интерес к математике, определяют социальную значимость выбора темы исследования.

В нашей стране накоплен большой опыт работы с математически одаренными школьниками (А.Н. Колмогоров, И. М. Яглом, В. Г. Болтянский и др.). Однако в настоящее время в большинстве случаев работа с этими детьми «носит однобокий характер» [39, С. 10], она ведется бессистемно и нерегулярно, активизируясь в период олимпиад. Это приводит к воспитанию «не математиков, а, в сущности, спортсменов-» решателей" «[39, С. 10], «в сфере интересов математически одаренных детей математика вытесняется более легкими околоматематическими занятиями» [39, С. 11].

На наш взгляд одной из причин этого является то, что при работе с математически одаренными учащимися акцент делается на умение решать задачи, а формирование математической культуры (культуры математической речи, культуры доказательств) отступает на второй план.

Особенно плохо дело обстоит с обучением доказательству: строгие логические рассуждения заменяются суррогатами, а иногда и картинка-ми-" комиксами". Эти проблемы отмечаются многими, но попытки создания единой системы, призванной их разрешить, нам не известны. Таким образом, обнаруживается противоречие. С одной стороны от математически одаренных школьников естественно ожидать боле высокого уровня культуры доказательств, а с другой стороны именно в этом направлении с ними не ведется достаточной систематической работы.

Все вышесказанное определяет актуальность проблемы исследования, состоящей в разрешении или хотя бы ослаблении указанного противоречия посредством выделения и разработки основных направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся.

Рассмотрим эти направления.

1. Прежде чем оперировать абстрактными математическими понятиями, ученик должен познакомиться с их содержательной стороной, которая является необходимой предпосылкой формирования верных, непустых абстракций.

Как неоднократно отмечалось ведущими математиками и методистами (В.М. Брадис [18], А. Пуанкаре [138], Г. Фройденталь [171], И. М. Яглом [186]), наилучшим источником образов и наиболее наглядной частью математики является геометрия окружающего пространства (или, как ее называет И. Ф. Шарыгин [177], наглядная геометрия), изучение которой способствует лучшей ориентации в пространстве.

В процессе работы с конкретными объектами реального мира все мыслительные операции осуществляются буквально: анализ как разделение, разбиение, разрезаниесинтез как склеивание, соединение частей в единое целоеклассификация как раскрашивание в разные цвета, раскладывание (группировка) по форме, размеру, цвету. В результате такой деятельности идет активное освоение окружающего пространства и накопление знаний о нем, что способствует лучшей ориентации и адаптации ребенка. Кроме того, эта деятельность увлекательна, и служит хорошим стимулом для последующего развития интереса учащихся к математике.

2. В процессе такой деятельности школьник постепенно абстрагируется от конкретного материала, очищает рассматриваемый объект от лишнего, называет его, включает его имя в систему понятий и учится оперировать не с конкретным предметом, а с его обозначением (знаком, символом). Для этого ученик должен приобрести опыт доказательных рассуждений, познакомится с многообразием методов доказательств на самом различном (и геометрическом, и алгебраическом, и логическом) материале.

3. Далее школьник должен научиться подмечать общие свойства объектов, потом — выбирать те свойства, из которых следуют остальные, а затем вычленять исходные положения теории, то есть выделять систему аксиом, на которой затем выстраивается вся теория.

Важность такой деятельности подчеркивали многие математики и методисты (А.А. Столяр [155−156], Г. Фройденталь [170−171] и др.). Поэтому учащиеся еще в стенах школы должны познакомиться с примером аксиоматического изложения теории. Осуществлять его, на наш взгляд, лучше не на геометрическом, а на алгебраическом материале, так как системы аксиом в алгебраических структурах значительно более просты и операциональны.

4. При работе с математически одаренными учащимися А. Н. Колмогоров говорил, что необходимо еще на школьной скамье «добраться с хорошим, ну хотя бы пассивным пониманием до рубежа между известным и неизвестным» [79, С. 106], знакомить молодых людей с новейшими достижениями в математике и приобщать их к самостоятельному получению результатов. Стремление заглянуть за горизонт, соприкоснуться с новым, неведомым, выйти на передовой рубеж науки, возможность открытия пусть небольшого, но еще неизвестного в науке факта — все это оставляет неизгладимые впечатления и заряд на всю последующую жизнь.

Таким образом, мы приходим к выводу, что при обучении доказательству математически одаренных учащихся должна быть предусмотрена работа в следующих направлениях:

1) первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии-,.

2) развитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математики;

3) опыт изучения аксиоматических математических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации;

4) вовлечение в исследовательскую деятельность в области математики.

Отметим, что каждый следующий пункт этой совокупности опирается на предыдущие и является их естественным продолжением. При изучении материала каждого следующего пункта по-новому осмысливается содержание и методы доказательств, используемые ранее.

Не претендуя на глобальное изменение содержания курса математики в массовой школе, мы полагаем, что данные направления в обучении доказательству математически одаренных учащихся могли бы быть реализованы в рамках серии факультативных курсов по математике. В нашей работе предлагается один из вариантов такой реализации.

Объектом исследования является процесс обучения математике математически одаренных учащихся.

Предметом исследования являются специфика, содержание, методы и средства обучения доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах.

Целью исследования явилось выделение перечисленных направлений, разработка содержательных модулей (факультативных курсов) по каждому из них и экспериментальная проверка этих модулей в их соотнесенности с этапами обучения доказательству — как по отдельности, так и в их взаимных связях.

Гипотеза исследования: развитие мышления, познавательной активности и творческих способностей математически одаренных школьников будет более эффективным, если обучение их доказательству организовать следующим образом: первоначальное обучение доказательству проводить на материале наглядной геометриинакопление методов доказательств осуществлять посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математикиприобретение опыта изучения аксиоматических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации осуществлять на алгебраическом материалевовлекать школьников в исследовательскую деятельность в области математики и для каждого из указанных направлений разработать содержательный модуль (факультативный курс).

Установленные цели, объект, предмет и гипотеза исследования, потребовали решения следующих задач исследования:^{проанализировать} основные психолого-педагогические концепции одаренности;

2) изучить состояние проблемы обучения доказательству в школе;

3) выделить основные направления в обучении доказательству математически одаренных учащихся и дать теоретическое обоснование целесообразности их выделения;

4) для каждого из направлений разработать содержательный модуль (факультативный курс);

5) экспериментально проверить эффективность предложенной совокупности направлений при их реализации на факультативных курсах.

При выявлении и разработке совокупности основных направлений в обучении доказательству были использованы исследования психологов, педагогов, методистов и математиков, направленные на повышение эффективности процесса обучения в школе.

Общие вопросы развития способностей, особенности работы с одаренными детьми и приобщения их к творческой деятельности рассмотрены в трудах Л. С. Выготского [31], С. Н. Дорофеева [56], И. И. Ильясова [67], Н. С. Лейтеса [89, 90], А. Н. Леонтьева [92], Я. А. Пономарева [134], С. Л. Рубинштейна [141], Б. М. Теплова [159], B.C. Юркевич [182−184], кандидатских диссертациях А. В. Жигайлова [60], А. В. Менделя [109], докторской диссертации Н. И. Мерлиной [110] и других.

Ряд крупных математиков (Ж. Адамар [1], А .Д. Александров [2], В. Г. Болтянский [17], А. Н. Колмогоров [78−79], А. Пуанкаре [138], Г. Фрой-денталь [171]), изучая природу математического творчества, делали ценные замечания о значении наглядно-образного компонента мышления в творчестве. Различным аспектам реализации принципа наглядности в обучении посвящено достаточно много диссертационных исследований.

Среди работ последних лет отметим кандидатские диссертации В. Н. Березина [11], Г. Х. Воистиновой [28], Ж. Г. Дед овец [51], докторскую диссертацию А. Я. Цукаря [176].

О необходимости аксиоматического изучения математических теорий говорили В. М. Брадис [18], Н. Бурбаки [20−21], Г. Вейль [23−24],.

A. Пуанкаре [138], Г. Фройденталь [170]. Опыт изучения в аксиоматическом духе некоторой геометрической или алгебраической теории описан в работах Н. М. Бескина [12], А. Н. Колмогорова [78], А. А. Столяра [155 156], в докторской диссертации А. Х. Назиева [123].

О необходимости развития абстрактно-логического мышления и приобщении учащихся к исследовательской деятельности говорили практически все ведущие психологи, педагоги, методисты и математики. Отметим, например, Н. Я. Виленкина [27], А. Н. Колмогорова [78−80, 140],.

B.А. Крутецкого [86], И. Лакатоса [87], И .Я. Лернера [93], П.И. Пидкасис-того [126], В. М. Тихомирова [161], Р. А. Утееву [164], кандидатские диссертации В. Ю. Лешера [94], З. И. Хусаиновой [175] и др.

Таким образом, отдельные составляющие разрабатываемой нами совокупности направлений в обучении доказательству постоянно находятся в центре внимания психолого-педагогической науки и практики. Вместе с тем, исследование этих направлений в их взаимной связи не встречалось в психолого-педагогических и методических работах.

Методологической основой исследования явились:

— труды по философии и методологии математики и математического образования (Г. Вейль [24], А. Н. Колмогоров [78], А. И. Маркушевич [103], Д. Пойа [131, 132], А. Пуанкаре [138], Г. И. Саранцев [144], Г. Фройденталь [170,171], А. Я. Хинчин [173], и др.);

— теоретические труды по проблемам содержания школьного математического образования (В.А. Гусев [47], Ю. М. Колягин [83], А.Г. Мордко-вич [120], Г. И. Саранцева [144−146], А. А. Столяр [155, 156] и др.);

— концепция деятельностного подхода к обучению (А.Н. Леонтьев [95], С. Л. Рубинштейн [141, 142] и др.);

— концепция гуманитарно ориентированного преподавания математики А. Х. Назиева [123−124];

— методическая концепция обучения доказательству Г. И. Саранцева [145, 146];

— концепция геометрического образования И. Ф. Шарыгина [177].

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования.

— анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме исследования;

— анализ школьных программ, учебников и учебных пособий;

— наблюдение, опрос, анкетирование, обобщение педагогического опыта;

— экспериментальная апробация отдельных направлений в обучении доказательству и всей их совокупности.

Научная новизна исследования заключается в том, что в нем предложен новый подход к решению проблемы развития мышления математически одаренных учащихся, основанный на выделении четырех направлений обучения их доказательным рассуждениям (первоначальное обучение на материале наглядной геометрииразвитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения некоторых тем школьного курса математикиприобщение к процессу аксиоматизациивовлечение в исследовательскую деятельность).

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что автором.

— выявлена, разработана и теоретически обоснована совокупность направлений в обучении доказательству математически одаренных школьников в целом и каждое из направлений в отдельности;

— показана реализация данной совокупности через серию факультативов;

— выявлены основные особенности обучения доказательству математически одаренных учащихся различного возраста;

— в основу организации исследовательской работы учащихся положены результаты автора по планиметрии Лобачевского (выявлено 14 новых типов четырехугольников, доказано их существование и проведена классификация).

Практическая значимость исследования определяется наличием в нем конкретных методических рекомендаций, которые могут быть реализованы в практике обучения доказательству учащихся средних школ. Материалы исследования могут быть использованы при разработке программ и отборе содержания для кружковых и факультативных занятий в средней школе, при проведении курсов повышения квалификации учителей математики, а также при чтении спецкурсов студентам математических специальностей педвузов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Решение проблемы обучения доказательству математически одаренных школьников имеет комплексный характер, включающий в себя:

— первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии;

— развитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математики;

— опыт изучения аксиоматических математических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации;

— вовлечение в исследовательскую деятельность в области математики.

2. Выделенная нами совокупность направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся согласуется с психофизиологическими особенностями развития мышления школьников и с этапами обучения доказательству.

3. Перечисленные направления в обучении доказательству математически одаренных учащихся целесообразно реализовывать на следующей серии факультативных курсов:

— «Задачи на клетчатой бумаге»;

— «Задачи на построение», «Логические задачи»;

— «Введение в теорию функциональных уравнений»;

— «Элементы геометрии Лобачевского на плоскости».

На защиту также выносятся: программы, содержание и методика проведения перечисленных факультативов в школе и спецкурсов (в рамках дисциплины преддипломной специализации) для математических специальностей в педвузах, а также учебные пособия по указанным курсам.

Достоверность и обоснованность основных положений и выводов диссертации обеспечивается использованием целостного подхода к изучаемой проблемепостроением исследования на основе положений современной психологии, педагогики и методики преподавания математикиположительной оценкой учителями и методистами разработанных учебных материалов и методики их использованиярезультатами опытного обучения и внедрения.

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на межвузовских научно-методических конференциях «Рязанские педагогические чтения» в 2000, 2001 и 2003 гг., на VII и VIII международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» в 1999 и 2000 гг., на II Всероссийской конференции «Качество педагогического образования» (Рязань, 2001 г), на Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов под руководством А. Г. Мордковича в Калуге (1998 г), Брянске (1999 г), Москве (2000 г), Санкт-Петербурге (2002 г).

Внедрение результатов исследования в практику. Разработанная автором методические материалы использовались в ходе экспериментальной проверки при проведении факультативов по математике в средних общеобразовательных школах № 63, 67 и 68 г. Рязани (19 992 002 гг.) и областном физико-математическом лагере старшеклассников (1998; 2002 гг.). Публикации автора широко используются учителями математики г. Рязани и области в кружковой работе и при подготовке школьников к математическим конкурсам и олимпиадам различного уровня. Отдельные направления используются преподавателями кафедры алгебры и геометрии РГПУ для проведения спецкурсов и в индивидуальной работе со студентами физико-математического факультета.

Публикации. По материалам диссертации автором опубликовано 20 научно-методических работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы — 189 страниц. Из них 173 страницы основного текста, 16 страниц — список литературы из 189 наименований. В работе содержится 24 рисунка и 4 таблицы.

Заключение

.

В ходе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целью и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

1. Выделена, теоретически обоснована и разработана совокупность направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся, включающая в себя:

— первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии;

— развитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математики;

— изучение аксиоматических теорий и приобщение учащихся к процессу аксиоматизации;

— вовлечение учащихся в исследовательскую деятельность.

2. По каждому из направлений разработан содержательный модуль (факультативный курс).

Предложена программа и разработано содержание факультатива «Задачи на клетчатой бумаге», имеющего целью мотивацию изучения математики, развитие наглядно-образного мышления, интуиции, воображения, а также важнейших мыслительных действий (анализа, синтеза, сравнения, обобщения, классификации и т. п.), приобщение к эстетике математики и направленного на осознание необходимости и приобретение первоначального опыта доказательных рассуждений.

Предложена программа и разработано содержание факультатива «Введение в теорию функциональных уравнений», имеющего целью знакомство с аксиоматическим методом, приобретение опыта изучения аксиоматической теории, и позволяющего обобщить и систематизировать знания учащихся по ключевым линиям школьного курса алгебры: «Функция», «Тождественные преобразования», «Числовые системы».

Предложена программа и разработано содержание факультатива «Элементы геометрии Лобачевского на плоскости», предназначенного для завершающего этапа обучения доказательству и направленного на приобщение учащихся к исследовательской деятельности. При разработке содержания курса использованы собственные результаты автора по планиметрии Лобачевского (выделены 14 ранее неизвестных типов четырехугольников, обладающих одним из характеристических свойств евклидова параллелограмма, и их частные случаи, доказано существование этих четырехугольников и проведена классификация).

Созданы учебные пособия, реализующие все три факультативных курса и являющиеся основой аналогичных спецкурсов (в рамках дисциплины преддипломной специализации) для математических специальностей в педвузах.

3. Эффективность предложенной совокупности направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся подтверждена экспериментально. На основе анализа наиболее известных концепций творчества и одаренности и результатов экспериментальной работы сформулированы методические рекомендации по работе с математически одаренными учащимися.

Перечисленные результаты свидетельствуют о том, что поставленные задачи решены, гипотеза исследования подтверждена, а цель достигнута.