Численное моделирование пространственного обтекания заостренных тел сверхзвуковым потоком вязкого газа

Численное решение газодинамических задач на основе полных уравнений Навье-Стокса или уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях является одним из основных направлений развития вычислительной аэродинамики. Однако широкое применение подобных расчетов в научных и промышленных целях до сих пор сдерживается высокой стоимостью, связанной с необходимыми для их выполнения огромными затратами вычислительных ресурсов. По этой причине поиск экономичных численных методов наряду с совершенствованием вычислительной техники, в частности персональных компьютеров (ПК), является необходимым условием развития вычислительной аэродинамики.

На данном этапе развития ПК речь может идти лишь о моделировании пространственного сверхзвукового обтекания тел относительно простой конфигурации, например, острых эллиптических конусов. Они образуют двухпараметрическое семейство тел. Этими параметрами являются коэффициент эллиптичности 5 = Ыа, где a, b — большая и малая полуоси эллипса, и угол 0к полураствора конуса в плоскости большой полуоси. Поверхность конических тел описывается аналитическими формулами, поэтому при численном анализе уравнений динамики вязкого газа не возникает особых проблем с вычислением метрических коэффициентов и построением расчетной сетки. Кроме того, острые эллиптические конуса часто используются в качестве элементов сверхзвуковых летательных аппаратов, поэтому исследование об.

— v. текания этих тел представляет не только научный, но и прикладной интерес.

В силу сказанного неудивительно, что сверхзвуковое обтекание острых конусов изучено теоретически и экспериментально в достаточно широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи. Результаты этих исследований обобщены, например, в [Башкип В.А., 1984], [Башкин В.А., Дубин Г. Н., 2000].

Экспериментальные исследования охватывают преимущественно два интервала по числу Маха. Первый из них включает в себя околозвуковые и малые сверхзвуковые скорости движения (0,6 < Мда < 3), второй — гиперзвуковые скорости, при которых проявляются эффекты разреженного газа (Моо > 10). Типичным примером первого направления служат работы [Jorgensen L.H., 1957; Реаке D.J., Owen F.K., Higuchi Н., 1978], второго — работа [Красильщиков А.П., Носов В. В., 1976]. Отметим, что первый интервал чисел Маха активно осваивался авиационной техникой, второй — космической. Экспериментальные исследования острых конических тел при больших числах Маха конечно также проводились, однако предпочтение отдавалось изучению затупленных конических тел по условиям аэродинамического нагревания.

Согласно этим исследованиям при больших числах Рейнольдса структура поля течения около тонкого кругового конуса с углом полураствора 0к, установленного под углом атаки, а в сверхзвуковом потоке, определяется в основном углом атаки.

При малых углах атаки (ct/Gk < 0,8) обтекание конуса является безотрывным и симметричным. При этом в плоскости симметрии течения на наветренной стороне конуса располагается линия растекания, а на подветренной стороне — линия стекания. На этих линиях в поперечном сечении конуса давление принимает экстремальные значения, и, следовательно, поперечное течение в пограничном слое направлено от линии растекания к линии стекания.

При умеренных и больших углах атаки (0,8 < a/0k) на подветренной стороне конуса наблюдается поперечный отрыв пограничного слоя. Согласно эксперименту при числе М" = 1,8 [Peake D.J., Owen F.K., Higuchi Н., 1978] наблюдается симметричный отрыв потока при углах атаки a/0|< ^ 3,2, что обуславливает симметричность обтекания конуса, и несимметричный отрыв потока при углах атаки a/0k > 3,2, что вызывает несимметричность течения газа около конуса и появление боковой силы. При этом с ростом числа Маха предельное значение угла атаки увеличивается.

При проведении теоретических исследований по сверхзвуковому обтеканию острых конусов широко использовалась классическая асимптотическая постановка задачи — невязкое течение плюс невзаимодействующий пограничный слой.

В рамках классической постановки задачи невязкое течение около эллиптического конуса при малых и умеренных углах атаки является коническим, а решение уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя при коническом внешнем течении является автомодельным и сводится к интегрированию системы двухмерных уравнений параболического типа. В турбулентном пограничном слое течение газа неавтомодельно, и решение задачи сохраняет существенно пространственный характер (см., например, [Алексин В.А., 2003]).

Поскольку классические уравнения пограничного слоя не позволяют корректно описать течение на подветренной стороне конуса, то для решения задачи часто используются модифицированные уравнения пограничного слоя, в которых учитываются влияния центробежных сил и диффузии в окружном направлении (см., например, [Lin Т.С., Rubin S.G., 1973]). Влияние этих дополнительных членов является малым на линии растекания и на наветренной стороне и становится существенным на подветренной стороне конуса, в особенности в окрестности точки отрыва пограничного слоя. Применение этого подхода позволяет получить корректное решение задачи при малых и умеренных углах атаки, а результаты расчетов достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Однако в рамках асимптотического подхода определяются поля течения и местные аэродинамические характеристики лишь в области безотрывного обтекания тела. Как показывают результаты теоретических и экспериментальных исследований, в областях отрывного течения образуются местные «пики» теплового потока, которые оказывают заметное влияние на аэродинамическое нагревание обтекаемой поверхности и знание которых представляет большой интерес для прикладных задач.

В связи с этим необходимо решение задачи на основе полных уравнений динамики вязкого газа.

Ряд теоретических исследований по сверхзвуковому обтеканию конических тел выполнено в предположении о коническом характере течения вязкого газа, благодаря которому численное интегрирование нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса или Рейнольдса сводится к решению нестационарной двухмерной задачи (см., например, [McRae D.S., Hus-saini M.Y., 1978]). Результаты расчетов с использованием такого приближенного подхода достаточно хорошо согласуются с соответствующими экспериментальными данными. Число работ, посвященных численному моделированию сверхзвукового обтекания острых конусов на основе полных уравнений динамики вязкого газа, сравнительно невелико, и в них, как правило, речь идет об апробации численного алгоритма.

В настоящее время авиационная и космическая техника начинают осваивать большие сверхзвуковые скорости, и возникает потребность в изучении обтекания острых тонких конусов сверхзвуковым потоком при больших числах Маха под углом атаки на основе уравнений динамики вязкого газа, что и является одной из целей диссертации.

В рамках вычислительной аэродинамики разработано много различных подходов к численному решению уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса. Среди них — метод, основанный на неявной конечно-разностной схеме Бима и Ворминга [Beam R., Warming R.F., 1978], и его дальнейшая модификация [Steger J.L., 1978; Hollanders Н., Devezeaux de Lavergne D., 1987]. В этой схеме вводятся нефизические сглаживающие члены, содержащие вторые и четвертые производные от зависимых переменных и служащие для подавления осцилляций сеточных функций. Оригинальный подход к аппроксимации уравнений Навье-Стокса предложен в работах Толстыха А. И. [см., например, Толстых А. И., 1981]. Он основан на применении разностной схемы третьего порядка точности на компактном шаблоне. Однако эти и многие другие методы не гарантируют от осцилляций сеточных функций в областях резкого изменения газодинамических величин.

К наиболее надежному классу разностных схем для решения уравнений Эйлера методом сквозного счета относится монотонная схема Годунова [Годунов С.К. 1959]. Применение ее для решения уравнений Навье-Стокса долго сдерживалось невысокой точностью (первым порядком аппроксимации). В 80-е годы были созданы эффективные разностные схемы, сохраняющие свойство монотонности при повышении порядка аппроксимации [Федо-ренко Р.П., 1962; Колган В. П., 1972; Гущин В. А., Щенников В. В., 1974; Ча-краварти С.Р., Жем К. Й., 1987] и получившие название TVD [Chakravarthy S.R., Osher S., 1983; Harten A1983]. Это позволило существенно расширить класс решаемых задач в рамках уравнений Эйлера, а также распространить эти схемы на решение задач газовой динамики с учетом вязкости и теплопроводности. Так, например, в работе [Иванов М.Я., Крупа В. Г., Нигматул-лин Р.З., 1989] с применением такой схемы получены результаты численного моделирования околозвуковых режимов обтекания в рамках уравнений Навье-Стокса. Дальнейшее развитие этой схемы для решения параболизован-ных уравнений Навье-Стокса предложено Копченовым В. И. и Ласкиным И. Н. [1996]. Подобная разностная схема использована также для решения задачи взаимодействия ударной волны с турбулентным пограничным слоем [Fedorova N.N., Fedorchenko LA., Schulein E., 2001].

С вычислительной точки зрения наиболее трудоемкой частью алгоритмов решения полных уравнений газовой динамики является итерационный процесс получения стационарного решения. Эта трудоемкость в явных методах установления связана с ограничением на временной шаг по числу Куранта, в неявных методах — с выполнением матричных операций. Для неявных методов чаще других используются различные варианты метода приближенной факторизации и метод Гаусса — Зейделя, опирающийся на диагональное доминирование линейного оператора. Большое распространение получили неявные схемы переменных направлений [Douglas J., GunnJ.E., 1964]. Дальнейшим развитием этого направления явились неявные разностные схемы, основанные на линеаризации уравнений для приращений искомых функций и приближенной факторизации (расщепления) [Белоцерковский О.М., Гущин В. А., [Ценников В.В., 1975; Ковеня В. М., Яненко Н. Н., 1981; Толстых А. И., 1981].

Наиболее законченным в математическом смысле можно считать применение неявных разностных схем с последующей линеаризацией и решением системы сеточных уравнений по методу Ньютона [Егоров КВ., Зайцев O.JI., 1991]. Этот подход был разработан для численного интегрирования нестационарных двухмерных уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности и реализован в комплексе программ применительно к персональным компьютерам (ПК). Затем он интенсивно использовался для решения ряда сверхзвуковых задач внешней и внутренней аэродинамики: круговой цилиндр, сфера, плоский и осесимметричный каналы [Башкин ВА., Егоров И. В., Иванов Д. В., 1998]. Развитие ПК, повышение их быстродействия и оперативной памяти позволяет ставить вопрос об обобщении указанного подхода на моделирование пространственных сверхзвуковых течений на основе нестационарных трехмерных уравнений динамики вязкого газа, что и является одной из целей данной диссертационной работы.

При переходе от двухмерных задач к решению трехмерных задач резко возрастает объем получаемого расчетного материала и остро встает вопрос о создании программного обеспечения по обработке, анализу и визуализации результатов расчетов. В настоящее время имеется достаточно много публикаций, посвященных разработке методов визуализациипоэтому важно отобрать наиболее эффективные подходы, модифицировать их и реализовать в комплексе программ применительно к используемому классу ПК. Создание такого комплекса сервизных программ также является одной из целей диссертационной работы.

Диссертационная работа связана с актуальным направлением вычислительной аэродинамики — численным моделированием на основе уравнений динамики вязкого газа — и ставит следующие цели:

• Обобщить подход, показавший свою эффективность при исследовании двухмерных аэродинамических задач, на численное моделирование пространственных сверхзвуковых течений вязкого газа на основе нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса и реализовать его на персональных компьютерах.

• Создать программный комплекс по визуализации и анализу расчетных данных, получаемых при решении двухи трехмерных аэродинамических задач.

• В предположении о симметрии течения исследовать структуру поля течения и аэродинамические характеристики тонких острых эллиптических конусов, обтекаемых сверхзвуковым потоком вязкого газа под углом атаки, и изучить влияние на них определяющих параметров задачи.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 66 наименований.

Во введении освещена роль вычисленной аэродинамики на современном этапе научных исследований, сформулирована цель диссертационной работы и приведена краткая аннотация ее глав.

Первая глава посвящена описанию постановки задачи по трехмерным течениям вязкого газа и численному моделированию на основе уравнений.

Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рей-нольдсовых напряжениях с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности.

Во второй главе проведен обзор современных методов визуализации при численном исследованиях. Описаны некоторые алгоритмы, используемые в программах визуализации и анализа двухи трехмерных течений.

Третья глава посвящена моделированию обтекания острых круговых конусов, установленных в сверхзвуковом потоке под малыми и умеренными углами атаки. Проведена верификация численного моделирования путем сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными. Проанализирован обширный расчетный материал по влиянию определяющих параметров задачи на структуру поля течения, местные и суммарные аэродинамические характеристика конуса.

В четвертой глава рассматривается обтекание острых эллиптический конусов сверхзвуковым потоком вязкого совершенного газа. Исследовано влияние формы поперечного сечения тела, угла атаки, чисел Рейнольдса и Маха на структуру поля течения, местные и суммарные аэродинамические характеристики.

В заключении кратко сформулированы основные выводы, вытекающие из опыта практического применения разработанного метода численного моделирования сверхзвуковых отрывных течений вязкого газа.

Г JIА В, А I. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА И РЕЙНОЛЬДСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОСТРАНСТВЕННЫМ СВЕРХЗВУКОВЫМ ТЕЧЕНИЯМ ГАЗА.

При теоретическом анализе газодинамических задач все большую роль играет численное моделирование на основе интегрирования уравнений Навье-Стокса (ламинарное течение) или осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (ламинарное, ламинарно-турбулентное и развитое турбулентное течение).

Метод численного решения уравнений Навье-Стокса, разработанный ранее [Багикин В.А., Егоров И. В., Иванов Д. В., 1997] для исследования ламинарного и турбулентных сверхзвукового обтекания плоских и осесиммет-ричных тел (двухмерная задача), был распространен на решение трехмерных сверхзвуковых ламинарных и ламинарно-турбулентных течений газа.

1.1. Постановка задачи.

В рамках механики сплошной среды движение газообразной среды в общем случае описывается нестационарными трехмерными уравнениями Навье-Стокса, которые служат основой для прямого численного моделирования турбулентного течения.

Для изучения прикладных задач широко применяются уравнения Рейнольдса, которые выводятся из уравнений Навье-Стокса, с использованием гипотезы Буссинеска относительно напряжений Рейнольдса. Эти уравнения являются основой настоящего метода численного моделирования.

Выводы.

1. Подход, доказавший свою эффективность при исследовании двухмерных аэродинамических задач, обобщен на численное моделирование пространственных сверхзвуковых течений вязкого газа на основе нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях с использованием 4 двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности и реализован в комплексе универсальных программ применительно к персональным компьютерам.

2. Создан программный пакет по обработке, визуализации и анализу расчетного материала.

3. Сопоставления расчетных и экспериментальных данных по местным и суммарным аэродинамическим характеристикам исследованных тел при сверхзвуковых скоростях показали их хорошее согласование между собой и позволяют сделать вывод о корректности численного моделирования и достоверности получаемых результатов.

4. Получены и проанализированы результаты расчетов по обтеканию тонких острых эллиптических конусов сверхзвуковым потоком вязкого газа в широком диапазоне параметров подобия, которые представляют большой интерес для прикладной аэродинамики.

5. Согласно расчетам при больших числах Рейнольдса обтекание конусов является безотрывным при углах атаки, а < arctg (5-tg9k) ~ 59k и отрывным при углах атаки, а > arctg (5-tg9k) «59k. При этом структура поля отрывного течения на подветренной стороне конуса зависит от числа Рейнольдса и режима движения газа. При ламинарном режиме по мере увеличения числа Re происходит усложнение структуры отрывного течения из-за появления вторичного и при определенных условиях даже третичного отрыва и присоединения потока. Турбулизация движения газа обуславливает упрощение структуры течения в отрывной зоне и сокращение ее геометрических размеров вследствие исчезновения третичного и вторичного отрыва и присоединения потока.

6. По мере увеличения угла атаки уменьшается вклад подветренной стороны конического тела в создании суммарных аэродинамических характеристик, но события, происходящие на подветренной стороне тела, важны с точки зрения аэродинамического нагревания. Наличие поперечного отрыва потока и присоединение его в плоскости симметрии приводит к замене линии стекания линией растекания, что обуславливает появление местных «пиков» теплового потока. Эти «пиковые» значения теплового потока могут быть сопоставимыми с максимальными тепловыми потоками на наветренной стороне конуса.