Свойства уравнений модели неустановившейся ползучести, построенной с использованием кусочно-линейных потенциалов

Теория ползучести металлов — пожалуй, одна из самых незавершенных областей исследования механики деформируемого твердого тела. Это связано прежде всего со сложностью самого явления ползучести, определяемого множеством факторов, в том числе и временных. Однако же, многие прикладные задачи могут быть решены только в рамках теории, учитывающей реологические свойства материала [21, 41]. К таким задачам, в настоящее время находящимся в стадии становления, относятся формообразование деталей и упрочнение материала конструкций. Перед теорией же ставится задача определения рабочих параметров этих процессов. Работа многих механизмов, таких как стационарные энергетические машины, в условиях высоких температур неизбежно приводит к ползучести их отдельных механизмов: трубопроводов, дисков, лопаток. В связи с чем требования к материалам и конструкциям определяются расчетами на ползучесть, а теория должна предсказать возможные нежелательные следствия. Таким образом, теория должна с одной стороны правильно описывать основные черты явления ползучести, а с другой — быть достаточно простой и пригодной для решения конкретных инженерных задач.

Этой цели были подчинены работы множества исследователей, большинство которых направило свои усилия на описание одноосной ползучести. Среди предложенных ими теорий следует отметить несколько, ныне ставших классическими.

Прежде всего назовем теорию течения и связанные с ней имена Дей-венпорта [103] и Л. М. Качанова [32]. Основное уравнение этой теории строится в предположении о разделении полной деформации на упругую часть и деформацию ползучести. Считается, что напряжения не превышают предела упругости, а потому пластические деформации отсутствуют. Для скорости упругой деформации принимается обычный закон Гука, а скорость ползучести связана с напряжением степенным законом, предложенным Бейли [98, 99] для описания кривой ползучести, в силу чего поведение среды напоминает нелинейно-вязкое течение. Следует отметить, что применение этой теории имеет свои ограничения: скорости ползучести не должны быть слишком малы, а напряжения, напротив, должны быть достаточно большими и изменяться медленно и монотонно. Впрочем, в практических задачах эти условия обычно выполняются.

Теория старения связана прежде всего с именем Содерберга [119]. Исходит она из предположения о существовании конечной зависимости между деформацией ползучести, напряжением и временем. Упругая деформация подчиняется закону Гука. Достоинство этой теории заключается в ее крайней простоте. Она вполне пригодна для использования при постоянном напряжении, однако у нее есть ряд существенных недостатков, ограничивающих ее применение [60]. К теории старения примыкает и уравнение Н. М. Беляева [6], использованное в работах H.H. Малини-на [42, 45], при построении которого автор исходил из уравнения теории упруго-пластических деформаций.

Теория упрочнения впервые была предложена Людвигом [113], На-даи [47] и развита в статье Дейвенпорта [103]. Они принимают, что существует функциональная зависимость между напряжением, накопленной пластической деформацией и скоростью ползучести. Согласно этой теории с увеличением пластической деформации скорость деформации уменьшается при постоянном напряжении, что напоминает известный эффект упрочнения пластического материала. Дальнейшее развитие теории связано с работами Ю. Н. Работнова, С. А. Шестерикова, В. И. Астафьева, Ф. С. Чурикова, H.H. Щетинина [3, 4, 61, 67, 87, 90].

Однако же, за меру упрочнения может быть принята не только величина деформаций ползучести, но и, например, работа напряжений, действующих на деформациях ползучести, или какие-либо другие характеристики. В этом состоит основная идея Ю. Н. Работнова [60, 117, 118], который предположил, что скорость ползучести определяется напряжением, температурой и некоторым числом структурных параметров, изменение которых описывается кинетическими уравнениями. Конкретизацию этих уравнений при некотором выборе структурных параметров можо найти в работах [18, 52]. На базе же представлений кинетической теории Г. И. Быковцевым и В. И. Гореловым [12, 13] были предложены определяющие уравнения ползучести с одним структурным параметром.

И, наконец, следует упомянуть теорию наследственности, предложенную Ю. Н. Работновым [62, 63], который обобщил теорию наследственной упругости Вольтерра [121] на случай необратимых деформаций. По этой теории определяется непосредственно полная деформация без выделения из нее деформации ползучести. К достоинствам теории, несомненно, относится тот факт, что она описывает эффект обратной ползучести. Но по мнению самого же автора [60], эта теория больше применима для описания ползучести полимеров, нежели металлов. Несколько иные уравнения наследственной теории были предложены Н. Х. Арутюняном [1, 2] и М. И. Розовским [69, 70, 71], С. И. Мешковым. К теории наследственности следует отнести и работу И. И. Бугакова [9], учитывающую температурные эффекты.

Так или иначе многие авторы при построении своих теорий используют идею о разделении полной деформации на составляющие. В частности, Ю. П. Самарин [73] выделяет упругую, вязкую и обратимую компоненты, причем вязкая деформация в свою очередь разделяется на деформацию вязкого течения и вязкого упрочнения. При этом теория оказалась в состоянии описать деформацию возврата. В [39] предлагается разделить деформацию на мгновенно-упругую, деформацию неустановившейся стадии, деформацию установившейся ползучести и деформацию нестационарной ползучести на участке предразрушения. Финдли и Лэй в [106] разделяют полную деформацию на упругую, пластическую, вязко-упругую обратимую и вязкую необратимую. В другой работе Финдли и Чо [101] выделяют упругую, пластическую, необратимую вязкую двух типов и деформацию возврата. Одномерные теории были также предложены в работах [8, 40, 55, 64, 65, 66, 88, 89, 102, 104, 105, 45, 49, 111, 120]. В настоящее время имеются довольно полные обзоры существующих теорий ползучести, в которых обсуждаются их достоинства и недостатки [1, 2, 5, 20, 32, 36, 38, 44, 56, 59, 60, 68, 72, 84, 98, 110, 112].

При описании ползучести в условиях сложного напряженного состояния обычно принимают те же гипотезы, что и в теории пластичности.

14, 24, 27, 28, 33, 37, 58, 80, 85, 86]. В частности, считают, что изменение объема тела является упругой деформацией, а процесс ползучести не зависит от гидростатического давления, главные направления тензора напряжений и скоростей деформаций ползучести полагают совпадающими.

На основе этих положений и ряда дополнительных гипотез о том, что главные скорости сдвигов пропорциональны некоторым степеням главных касательных напряжений, а характер зависимости между полной скоростью ползучести и напряжением при сложном напряженном состоянии остается таким же, как и при одноосном растяжении, строят свои теории Бейли [98, 100] и Марин [114]. Но если первый влияние всей системы напряжений учитывает посредством функции энергии формоизменения, то второй использует функцию вязкости в виде экспоненциальной зависимости от напряжений.

Эти две теории близки к так называемым теориям старения, которые, подобно одномерному случаю, предполагают существование зависимости между интенсивностью полной деформации, интенсивностью напряжений и временем. При этом девиатор полной деформации связан с девиатором напряжений уравнениями, аналогичными уравнениям деформационной теории пластичности. Эта теория обладает сравнительной простотой, а потому нашла свое применение [43]. Имеет свое распространение на пространственный случай и теория Н. М. Беляева [6], усовершенствованная H.H. Малининым [46, 57]. Здесь рассматривается связь непосредственно между интенсивностями деформаций и напряжений.

Уравнения теории упрочнения при сложном напряженном состоянии формулируются [61] на основе предположения о разделении деформации на упругую и ползучую составляющие, а в качестве меры упрочнения могут приниматься разные инварианты, которые сводятся в одномерном случае к одной и той же величине — накопленной деформации ползучести. Развитие этой идеи можно найти в работе [87].

Обобщение теории упрочнения в случае сложного напряженного состояния было предложено Ю. Н. Работновым в [60]. Подобно одномерному случаю, он предположил, что мгновенное состояние материала определяется заданием некоторого числа параметров состояния, так что существует конечная связь между этими параметрами, тензором напряжений и температурой. А для простоты полагается, что зависимость от напряжений сводится к зависимости от некоторой однородной функции первой степени компонент напряжений. Эта функция может быть в том числе и кусочно-линейной. Свой вариант кинетической теории для сложного напряженного состояния предлагают и Г. И. Быковцев с соавторами в [7].

Большинство же теорий строится по типу теории течения, которая устанавливает непосредственную связь между тензором скоростей деформаций ползучести и тензором напряжений. Свое развитие эта теория получила в работах Л. М. Качанова [32, 34, 35], где он в целях упрощения уравнений ползучести вводит некоторую потенциальную функцию, которая может зависеть от некоторого числа параметров, характеризующих состояние материала. В частности, как отмечает Л. М. Качанов, в качестве такого параметра может быть принято максимальное касательное напряжение.

Отметим еще несколько работ, посвященных построению теории ползучести в случае сложного напряженного состояния. Содерберг в своей работе [119] базируется на основных гипотезах теории течения. Он предполагает, что интенсивность скоростей деформаций зависит не только от напряжений, но и от времени и деформации. Одквист [116] полную деформацию при ползучести разделял на упругую и вязкую. Причем, упругая деформация подчинена закону Гука, а для вязкой справедливы законы теории течения. Надаи [115] за меру интенсивности напряжений принимает касательные напряжения на октаэдрических площадках и считает, что скорости сдвига пропорциональны касательным напряжениям. Гриффиц же и Марин [108] общую деформацию рассматривают как сумму трех составляющих. Упругая деформация у них остается неизменной во времени при постоянных напряжениях, упруго-пластическая имеет переменную скорость при постоянной нагрузке, а деформация ползучести — постоянную. Гидростатическое давление по теории Гриффица и Марина не влияет только на деформацию ползучести. Обсуждаются вопросы построения теории для сложного напряженного состояния и в работах B.C. Наместникова [48, 49, 50, 51].

В.В. Новожилов, формулируя свои идеи [53, 54], полагал, что тело обладает начальной изотропией, связь между напряжениями и деформациями зависит от всей истории нагружения, силы, сопротивляющиеся пластической деформации, не зависят от времени и направлены по касательной к траектории движения в сторону, противоположную скорости. Вследствие неравномерности пластической деформации в теле могут возникнуть внутренние упругие силы и силы типа сухого трения, которые сопротивляются этой деформации. Напряжение при этом преодолевает как силы, сопротивляющиеся упругой деформации, так и силы, сопротивляющиеся пластической деформации. Развитие этой теории можно проследить в работах В. В. Новожилова, Ю. И. Кадашевича [29, 30, 31].

В [74, 75, 76, 77] Ю. П. Самариным предлагается описывать поведение материалов со сложными реологическими свойствами методами теории управления. Структура определяющих уравнений на основе этого подхода выявляется путем наблюдения особенностей поведения реологической деформации и выделением в ней соответствующих слагаемых. В работах [78, 79] того же автора ползучесть среды с учетом макрои ми-кронеоднородностей описывается при помощи стохастических уравнений.

В работах [81, 82, 83] О. В. Сосниным, Б. В. Горевым, А. Ф. Никитенко предлагается энергетический вариант теории ползучести, позволяющий учитывать накопление поврежденностей в среде. За меру интенсивности процесса ползучести принимается величина удельной мощности рассеяния, а за меру поврежденности материала — величина удельной работы рассеяния. При этом предполагается существование уравнения состояния, связывающего эти две характеристики, и справедливость закона течения.

Настоящая диссертационная работа посвящена построению модели однородного изотропного тела, находящегося в состоянии неустановившейся ползучести, с использованием кусочно-линейных потенциалов и исследованию ее свойств. Построение модельных соотношений необратимого деформирования тел с использованием кусочно-линейных потенциалов стало классическим в теории идеальной пластичности [14, 24], где приняты условия пластичности максимального касательного напряжения (условие Треска), максимального приведенного напряжения (условие Ивлева) и некоторые другие. Именно на таком подходе к необратимому деформированию был получен ряд фундаментальных результатов, определивших прогресс теории. В работе [25] Д. Д. Ивлев обратил внимание на возможность подобного построения нелинейной теории упругости, а в работе [26] и гидродинамики вязкой жидкости. Свойства модельных уравнений нелинейной теории упругости, построенной таким образом, изучались Г. И. Быковцевым в [10]. Возможность моделирования явления неустановившейся ползучести на этой же основе была им высказана в [11].

В первой главе диссертационной работы изложены основные гипотезы, на основе которых строится теория. Приведены ее основополагающие соотношения в двух случаях — регулярного и сингулярного нагружения. Для потенциальных функций выбраны степенные зависимости. Показано, что в одномерном случае построенная теория совпадает с теорией течения. Кроме того, указаны особенности применения теории неустановившейся ползучести при кусочно-линейных потенциалах к задачам плоского напряженного, плоского деформированного, осесимметрическо-го состояний и кручения стержней. Исследованы возможности существования статической определимости перечисленных задач.

Вторая глава посвящена преобразованию уравнений неустановившейся ползучести, выписанных для случая плоского напряженного, плоского деформированного и осесимметрического состояний. Указаны условия, при которых эти уравнения относятся к гиперболическому, эллиптическому или промежуточному параболическому типу. Получены канонические системы этих уравнений. Для ряда задач указаны общие решения.

Третья глава посвящена решению краевых задач в рамках теории неустановившейся ползучести при кусочно-линейных потенциалах. В первом параграфе приводится решение задачи о чистом сдвиге полупространства и полосы. Причем, рассмотрены две возможные постановки краевых условий, соответствующих задаче о релаксации напряжений в полупространстве и задаче о ползучести полосы при постоянных напряжениях. Задача решалась при двух различных предположениях. Первое заключается в том, что напряжения соответствуют грани призмы течения Треска, а второе — в том, что точка действительного напряженного состояния лежит на одном из ребер призмы течения Ивлева. Был проведен сравнительный анализ обоих решений.

Во втором параграфе третьей главы строится решение задачи о кручении круглой толстостенной трубы, в предположении о принадлежности напряжений в трубе грани поверхности течения Треска. Рассмотрены задачи ползучести при постоянных нагрузках и задача релаксации напряжений.

Третий параграф посвящен решению задачи о релаксации напряжений в конусе, точки которого получили постоянное касательное смещение. Построены поверхности одинаковых интенсивностей напряжений.

В четвертом параграфе рассматривается антиплоская деформация цилиндрического тела вращения. Напряжения полагаются соответствующими грани поверхности течения Треска. Решения построены для двух типов краевых задач: задачи ползучести при постоянном напряжении и задачи релаксации напряжений при фиксированных деформациях.

Пятый параграф посвящен решению задачи о релаксации напряжений вблизи первоначально круглого отверстия бесконечной тонкой пластинки. Напряжения выбраны соответствующими ребру призмы течения Ивлева, на котором основные соотношения задачи оказываются эллиптическими, а напряжения между собой связаны посредством некоторой аналитической функции комплексного переменного. Оказывается, построенное решение при определенных значениях параметров будет описывать либо впрессовывание жесткого эллипса в круглое отверстие пластины, либо натягивание круглого отверстия на цилиндр эллиптического поперечного сечения.

В шестом параграфе рассмотрена та же задача о деформировании бесконечной пластинки с круглым отверстием, но в предположении о том, что напряжения отвечают ребру поверхности течения Треска, на котором уравнения статики и система для перемещений являются параболическими. Получены решения при различных постановках граничных условий, отвечающих задачам релаксации напряжений в окрестности отверстия пластины в результате его жесткого деформирования и задачам ползучести под действием приложенной к контуру отверстия постоянной нагрузки.

Заключение

содержит краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе.

В главах принята двойная нумерация формул, первая цифра обозначает номер главы. На протяжении каждой главы нумерация формул сквозная. Нумерация рисунков и таблиц, включенных в текст, сквозная для всей работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Предложена новая модель неустановившейся ползучести, основанная на использовании кусочно-линейных потенциалов деформаций.

2. Исследованы свойства системы уравнений, составляющих математическую модель, в основных случаях напряженно-деформируемых состояний. Указаны условия статической и кинематической определимости задач неустановившейся ползучести.

3. Там, где это возможно, получены канонические формы определяющих уравнений теории, в зависимости от принадлежности напряженного состояния ребрам и граням поверхностей равного уровня функции течения определены их типы и указаны общие решения.

4. Решен ряд одномерных задач при двух различных постановках краевых условий, соответствующих релаксации напряжений и ползучести при постоянных нагрузках. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием функций течения Д. Д. Ивлева и Треска.

5. Благодаря введению комплексной функции напряжений была решена задача о релаксации напряжений в окрестности жесткого эллипса, впрессованного в круглое отверстие бесконечной пластины.

6. Решена параболическая задача о релаксации напряжений в бесконечной пластине, ослабленной круглым вырезом, при заданных постоянных радиальных перемещениях, а также задача о ползучести круглого отверстия пластины при постоянно действующей нагрузке, приложенной к границе отверстия.