Лабораторная работа
Бифуркационная динамика систем
Ход работы:
1. Пусть на изолированном острове летом выводятся насекомые численностью Хi, которые откладывают яйца и умирают. Из яиц на следующий год выводятся новые насекомые численностью Хi +1. Очевидно, численность потомства Хi +1 должна зависеть от численности родительского поколения Хi и от каких-то дополнительных факторов. Эта зависимость учитывается уравнением:
Хi +1 = (N — Хi ),
Где > 0 — некоторый параметр (т.е. постоянная в условиях рассмотрения величина), N — максимально возможная численность популяции.
Для унификации уравнения численность популяции нормируют по отношению к предельной величине, что математически оформляется делением обеих частей равенства на N2:
Хi +1* = * Хi*(1 — Хi*),
Где Хi* = Хi/N Хi +1*= Хi +1/ N *= N
2. Пусть и. Тогда. Зададим в заданных пределах и рассчитаем и занесем в таблицу результаты.
л=0,4 X0=0,5
|
x0 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | |
0,5 | 0,1 | 0,036 | 0,13 882 | 0,5 476 | 0,2 178 | 0,869 | 0,347 | 0,139 | |
|
Анализ табличных результатов показывает, что популяция сокращается.
3. Зададим значение л большее в интервале .
л=2
|
x0 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | |
0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | |
|
Как видно, в данном случае популяция не возрастает, а стремится по численности к некоторому предельному значению. Этот предел для каждого л может быть рассчитан аналитическим путем решения уравнения
.
Уравнение имеет два решения:
.
Первое решение реализуется (т.е. существует устойчиво) при малых, а второе для, т.к. условиям задачи по должно быть .
4. Зададим л еще большее значение .
л=3,5
|
x0 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | |
0,5 | 0,75 | 0,382 813 | 0,826 935 | 0,500 898 | 0,874 997 | 0,38 282 | 0,826 941 | 0,500 884 | |
|
В этом случае динамика численности популяции заметно усложняется: возникают два ее предельных (стационарных) значения, причем сама численность колеблется, попеременно приближаясь то к одному, то к другому пределу.
5. Построим график зависимости стационарных состояний численности от параметра скорости роста (.
популяция особь бифуркационный Второе критическое значение 2 = 3.4 соответствует раздвоению каждой из ветвей решения, т. е. стационарных значений становится не два, а четыре.
Контрольные вопросы.
1. N-максимальная численность, которой может достичь популяция. Численность популяции на конкретной территории не может увеличиваться бесконечно, так как на всех особей не хватит пропитания. Как только численность популяции начнет приближаться к N, между особями начнется конкуренция за территорию, борьба за выживание. Путем естественного отбора некоторые особи погибнут, и численность популяции уменьшится и будет меньше N.
2. При динамика популяции будет нулевой. Такая популяция существовать не будет.
При динамика популяции так же будет нулевой, потому что природные механизмы не дадут популяции превысить численность N.
