Построение регрессионной модели экономической деятельности компаний нефтегазовой отрасли

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Владимирский филиал финансового университета Заочный факультет экономики Кафедра «Математика и информатика»

Контрольная работа

По дисциплине «Эконометрика»

Студент: Ашуралиев Ф.Х.

Курс: 3, группа: ЗБ3-ЭК301

Преподаватель: Бутковский О.Я.

Владимир 2015

На основании данных, приведенных в табл. 1:

1. Постройте диаграммы рассеяния, представляющие собой зависимости Y от каждого из факторов Х. Сделайте выводы о характере взаимосвязи переменных.

2. Осуществите двумя способами выбор факторных признаков для построения регрессионной модели:

а) на основе анализа матрицы коэффициентов парной корреляции, включая проверку гипотезы о независимости объясняющих переменных (тест на выявление мультиколлинеарности Фаррара-Глоубера);

б) с помощью пошагового отбора методом исключения.

3. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с выбранными факторами. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

4. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности, и? коэффициентов.

5. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для наиболее подходящего фактора Хj.

6. Оцените качество построенной модели с помощью коэффициента детерминации, средней относительной ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера.

7. Проверьте выполнение условия гомоскедастичности.

8. Используя результаты регрессионного анализа, ранжируйте компании по степени эффективности.

9. Осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости = 0,1, если прогнозное значение фактора Хj составит 80% от его максимального значения. Представьте на графике фактические данные Y, результаты моделирования, прогнозные оценки и границы доверительного интервала.

10. Составьте уравнения нелинейной регрессии:

а) гиперболической;

б) степенной;

в) показательной.

11. Приведите графики построенных уравнений регрессии.

12. Для нелинейных моделей найдите коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравните модели по этим характеристикам и сделайте вывод о лучшей модели.

Таблица 1

1. Постройте диаграммы рассеяния, представляющие собой зависимости Y от каждого из факторов Х. Сделайте выводы о характере взаимосвязи переменных Построенные диаграммы рассеяния, зависимости Yот X3 (рис.1), от X5 (рис. 2), от X6 (рис.3). По характеру распределения данных, можно сделать предположение, что существует некоторая тенденция прямой линейной связи между значениями объясняемой переменной и факторами X3 и X5 и отсутствия с фактором X6.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

2. Осуществите двумя способами выбор факторных признаков для построения регрессионной модели а) на основе анализа матрицы коэффициентов парной корреляции, включая проверку гипотезы о независимости объясняющих переменных (тест на выявление мультиколлинеарности Фаррара-Глоубера);

Для проведения корреляционного анализа используем инструмент Корреляция (Анализ данных в Excel). В результате получаем матрицу коэффициентов парной корреляции (Табл. 2).

Таблица 2

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции начинаем с ее первого столбца, где расположены коэффициенты корреляции, отражающие тесноту связи зависимой переменной Y «прибыль (убыток)» с включенными в анализ факторами. Анализ показывает, что зависимая переменная Y, имеет тесную связь с долгосрочными обязательствами (r_y,x3 = 0,912) и с запасами готовой продукции для перепродажи (r_y,x6= 0,842). Фактор Х5имеет слабую связь с зависимой переменной и его не рекомендуется включать в модель (исключим его в пошаговом методе).

Затем переходим к анализу остальных столбцов матрицы с целью выявления мультиколлинеарности. Факторы X1и X6нетесно связаны между собой (r_x3,x6= 0,756), что не свидетельствует о наличии мультиколлинеарности.

Таким образом, на основе анализа только корреляционной матрицы остаются два фактора — Долгосрочные обязательства и Запасы готовой продукции для перепродажи (n = 50, k =2).

1. Проверка наличия мультиколлинеарности всего массива переменных Построим матрицу межфакторных корреляций R1 (табл. 4.3) и найдем ее определитель det [R1] = 0,373 с помощью функции МОПРЕД.

Таблица 3

Вычислим наблюдаемое значение статистики Фаррара — Глоубера по формуле:

=-((50−1-(1/6)*(2*3+5))*(-0,37) = 17,5

где n = 50 — количество наблюдений;

k = 3 -количество факторов.

Фактическое значение этого критерия FGнабл сравниваем с табличным значением X²c ½k (k-1) = 3 степенями свободы и уровнем значимости б=0,05. Табличное значение X² находим с помощью функции ХИ2.ОБР.ПХ. FGкр = 0,352.

Так как FGнабл>FGкр (17,5>0,352), следовательно в массиве объясняющих переменных существует мультиколлинеарность.

б) с помощью пошагового отбора методом исключения.

Пошаговый отбор методом исключения. Построение модели регрессии с помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel) приведено в таблице 4.

1-й шаг — модель регрессии по всем факторам:

Таблица 4

Линейное уравнение трехфакторной модели регрессии имеет вид:

Проверим значимость коэффициентов парной корреляции по критерию Стьюдента. Расчетное значение критерия Стьюдента приведены в графе t-статистика.

Для параметра при, — параметр при факторе значим.

Для параметра при, — параметр при факторе значим.

Для параметра при, -параметр при факторе значим.

Исключаем фактор Х5.

2-й шаг — модель регрессии по двум факторам:

Таблица 5

Линейное уравнение двухфакторной модели регрессии имеет вид:

Проверим значимость коэффициентов парной корреляции по критерию Стьюдента. Расчетное значение критерия Стьюдента приведены в графе t-статистика.

Для параметра при, -параметр при факторе значим.

Для параметра при, — параметр при факторе значим.

3. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с выбранными факторами. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии На основании пункта 2. б из модели фактор X2 исключаем, тогда уравнение зависимости прибыли (убытка) можно записать в следующем виде:

Уравнение регрессии показывает, каково будет в среднем значение переменной , если переменные X примут конкретные значения.

коэффициент регрессии _j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную x_j увеличить на единицу измерения, т. е. _j является нормативным коэффициентом.

В данном случае =0,179 показывает, что при увеличении долгосрочной задолженности на 1 тыс. руб. прибыль увеличится на 179 тыс. руб.

В данном случае а3=3,172показывает, что при увеличении запасов готовой продукции для перепродажи на 1 тыс. руб. прибыль увеличится на 3712 тыс. руб.

4. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности, и? коэффициентов факторный регрессионный экономический матрица Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки валяния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной колеблемости факторов, используем коэффициенты эластичности, бетаи дельтакоэффициенты.

Для коэффициента регрессии вычислим коэффициент эластичности и бета-коэффициент по формулам:

0,1 472 321 364,22/842 311,451=0,388 099 821

Прибыль увеличится на 38,81%, если фактор долгосрочные обязательства увеличатся на 1%.

4,27 476 620,02/842 311,451=0,1739

Прибыль увеличится на 17,39%, если фактор запасы готовой продукции увеличатся на 1%.

a) -коэффициент:

Коэффициент показывает, что при увеличении долгосрочных обязательств на 8 995 832,256 тыс. руб. Прибыль увеличится на 1 322 387,342 тыс. руб. (0,47*2 813 269,802)

Коэффициент показывает, что при увеличении запасов готовой продукции для перепродажи на 72 567 008 373 тыс. руб. Прибыль увеличится на 3,10151E+11 тыс. руб. (0,039*2 813 269,802)

b) -коэффициент:

Вывод: изменение результата У (прибыль) происходит под влиянием фактора (долгосрочные обязательства), включенного в модель, на 47%.

Изменение результата У (прибыль) происходит под влиянием фактора (запасы готовой продукции), включенного в модель, на 3,7%.

5. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для наиболее подходящего фактора Хj

В нашем случае это фактор Х1 (долгосрочные обязательства) Таблица 5

Линейное уравнение трехфакторной модели регрессии имеет вид:

6. Оценка качества построенной модели через коэффициент детерминации, средней относительной ошибки аппроксимации и F — критерия Фишера Для оценки качества модели множественной регрессии вычисляют коэффициент множественной корреляции Rи коэффициент детерминации R². Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно вычислить по формулам:

Коэффициент детерминации R² (R-квадрат):

=0,831,

где у? — среднее значение определяемой переменной, а у? — расчетное значение определяемой переменной.

Коэффициент детерминации можно найти в результатах регрессионного анализа (табл. 5).

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 83,1% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора.

Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции (множественный R):

= 0,912

Он показывает высокую тесноту связи зависимой переменной Y с включенным в модель объясняющим фактором.

Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе вычисления F — критерия Фишера:

= (0,831/1) / ((1−0,831)/(50−1-1)) = 236,46,

где n — количество наблюдений (компаний);

а k — количество факторов (переменных анализа).

Расчетное значение F — критерия берем из результатов регрессионного анализа (табл. 5).

Табличное значение F — критерия при доверительной вероятности 0,95 при v₁ = k = 1 и v₂ = n — k — 1 = 50 — 1 — 1 = 48 составляет 4,04. Табличное значение F — критерия можно найти с помощью функции F.

Поскольку F>F, уравнение регрессии следует признать значимым, т. е. его можно использовать для анализа и прогнозирования.

Уровень точности модели характеризует степень отклонения в среднем фактических значений результативной переменной Y от ее значений, полученных по модели регрессии.

Точность модели оценим с помощью средней ошибки аппроксимации:

Модель считается неточной, т.к. > 5%.

Таблица 6

7. Проверьте выполнение условия гомоскедастичности Рис. 4. Графики остатков по фактору однофакторной модели Из графиков, представленных на рис. 4.3, видно, что дисперсия остатков более всего нарушена по отношению к фактору Х3.

Проверим наличие гомоскедастичности в остатках однофакторной модели на основе теста Гольдфельда-Квандта.

1. Упорядочим переменные Y и X1 по возрастанию фактора Х3(в Excel для этого можно использовать команду Данные — Сортировка по возрастанию Х3):

Данные, отсортированные по возрастанию Х3 (Рис. 5)

1. Убираем из середины упорядоченной совокупности C=¼*50 = 12 значений. В результате получили две совокупности по Ѕ (50−12) = 19 значений соответственно с малыми и большими значениями X3.

2. Для каждой совокупности выполним регрессионный анализ (табл. 7−8).

Рис. 5

Таблица 7

Таблица 8

3. Находим отношение полученных остаточных сумм квадратов

R = 3,47E+12/8,92Е+13= 0,039

4. Вывод о наличии гомоскедастичности остатков делаем с помощью Fкритерия Фишера с уровнем значимости и двумя одинаковыми степенями свободы к = 18 (k=(n-C-2*p)/2,

где р — число коэффициентов в уравнении регрессии).

Fтабл. = 2,21

Так как Fтабл

8. Используя результаты регрессионного анализа, ранжируйте компании по степени эффективности Для ранжирования компаний по степени эффективности, построим доверительные интервалы для результирующей переменной.

Доверительный интервал для отдельных значений переменной можно определить рассчитав вначале ошибку моделирования:

Где Х — матрица факторов.

Можно применить упрощенную формулу одинаковую для всех уровней:

Верхняя граница доверительного интервала:

Нижняя граница доверительного интервала:

Таблица 9

9. Осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости = 0,1, если прогнозное значение фактора Хj составит 80% от его максимального значения. Представьте на графике фактические данные Y, результаты моделирования, прогнозные оценки и границы доверительного интервала

1. Точечный прогноз фактора:

Xпрог = 0,8*52 034 182 = 41 627 345,6

2. Точечный прогноз прибыли:

При значении долгосрочных обязательств41 627 345,6 тыс. руб. прибыль составит в среднем 11 614 177,2 тыс. руб.

3. Интервальный прогноз прибыли:

Найдем ошибку прогнозирования по формуле:

Которая зависит от стандартной ошибки Sе, удаления Xпр от своего среднего значения, количества наблюдений n, заданного уровня вероятности попадания в интервал прогноза.

t (0,1;48) = 1,6772

S_e = 1 414 240,697

Xср = 2 082 587,52

Нижняя граница интервала

Yпр — U = 11 614 177,2 — 5 036 306,495 = 6 577 870,695

Верхняя граница интервала

Yпр + U = 11 614 177,2 + 5 036 306,495 = 16 650 483,68

Вывод: при значении долгосрочных обязательств 41 627 345,6 тыс. руб. прибыль будет колебаться в пределах от 6 577 870,695 тыс. руб. до 16 650 483,68 тыс. руб. Графическое представление результатов моделирования по парной регрессии отражено на рис. 5.

10. Составьте уравнения нелинейной регрессии Используя MS Excel и VSTAT, подберите для данных своего варианта наилучшую трендовую модель и выполните прогнозирование по лучшей модели на два ближайших периода. Представьте в отчете соответствующие листинги с комментариями.

· Щёлкните правой кнопкой мыши на ряде динамики

· Выберите команду Добавить линию тренда из контекстного меню

· Выберите тип регрессии. При выборе типа Полиноминальная введите значение степени в поле Степень

· В параметрах отметить:

— показывать уравнение на диаграмме

— поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации

· Щелкните Ок.

а) гиперболической;

б) степенной;

Степенная функция не построена (не идентифицирована) в) показательной

11. Приведите графики построенных уравнений регрессии Графики приведены в 10 п.

12. Для нелинейных моделей найдите коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравните модели по этим характеристикам и сделайте вывод о лучшей модели Таблица 10

Сравнение нелинейных моделей

Наилучшей трендовой моделью считается гиперболическая, так как у нее большее значение коэффициента детерминации. Ее то мы и возьмем в качестве лучшей для построения прогноза.