Экономическая интерпретация коэффициента регрессии

Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Всероссийский заочный финансово-экономический институт КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по Эконометрике вариант № 6

К.ф. — м.н., доцент кафедры: Василенко В.В.

Студент: Чмиль А. А., ФиК, 3 Курс

Краснодар, 2009

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (X, млн.руб.).

Исходные данные.Табл.1

Вспомогательная таблица для расчетов параметров линейной регрессии. Табл.2

Задание 1

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

После проведенных расчетов линейная модель имеет вид:

Y = 12,24 152 + 0,90 8871x, коэффициент регрессии составил 0,908 871. Экономический смысл параметра регрессии заключается в следующем: с увеличением капиталовложений на 1 единицу выпуск продукции увеличивается на 0,908 871 единиц.

Задание 2

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков.

Вычисленные остатки приведены в таблице 2. Остаточная сумма квадратов составила 12,02. Дисперсия остатков составила:

D_ост = ((YYср.)² — (Y (xi) — Yср.)²)/ (n — 2) = 1,502 474 351.

График остатков. Рис.1

Задание 3

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Остатки гомоскедастичны, автокорреляция отсутствует (корреляция остатков и фактора Х равна нулю, рис.1), математическое ожидание остатков равно нулю, остатки нормально распределены.

Корреляция остатков и переменной Х. Рис 2.

Задание 4

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t — критерия Стьюдента (б = 0,05).

Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии:

mb = (Dост. / ?(x — xср.) ²) ^Ѕ = 0,42 585 061

Теперь проведем оценку значимости коэффициента регрессии:

tb = b / mb = 21,3 424 949

При б = 0,05 и числе степеней свободы (n — 2) tтабл. = 2,3060. Так как фактическое значение t — критерия больше табличного, то гипотезу о несущественности коэффициента можно отклонить. Доверительный интервал для коэффицента регрессии определяется как b ± t* mb. Для коэффициента регрессии b границы составят: 0,908 871 — 2,3060*0,42 585 061? b? 0,908 871+2,3060*0,42 585 061

0,81 067? b? 1,70 722

Далее определим стандартную ошибку параметра a:

m_a = (Dост.*(?x² / (n*?(x — xср.)²))^½ = 1,73 194 241

t_a = a / m_a = 11,4 066 218

Мы видим, что фактическое значение параметра, а больше, чем табличное, следовательно, гипотезу о несущественности параметра, а можно отклонить. Доверительный интервал составит: a ± t* ma. Границы параметра составят:

12,24 152 ± 2,3060*1,73 194 241

9,766 735? a? 14,716 305

Проверим значимость линейного коэффициента корреляции на основе ошибки коэффициента корреляции:

m_r = ((1 — r²) / (n — 2))^½ = 0,46 448 763

Фактическое значение t — критерия Стьюдента определяется:

t_r = (r / (1 — r²)) * (n — 2)^½ = 21,3 424 949

Значение t_r фактическое больше табличного, следовательно при уровне значимости б = 0,05 и степени свободы (n — 2), коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

Задание 5

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью f — критерия Фишера (б = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

R² = Rxy² = 0,98 274 — детерминация.

F = (R²/(1 — R²))*((n — m — 1)/m) = 455,5 020 887

Fтабл. 5,32 < Fкр. 455,5 020 887- это говорит о том, что уравнение регрессии статистически значимо.

Средняя ошибка аппроксимации, А = 3,19%. Это говорит о том, что качество уравнения регрессии хорошее. Расчетные значения отклоняются от фактических на 3,19%.

Задание 6

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от максимального значения.

Если прогнозируемое значение Х_р = 0,8Х_max = 0,8*39 = 31,2 млн руб., тогда прогнозное значение объема капиталовложений составит:

Y_р = 12,24 152 + 0,908 871*31,2 = 40,598 295 млн руб.

Ошибка прогноза составит:

m_yр = Dост.*(1+(1/n)+((x_k — x_ср)² / ?(x — x_ср)²)^½ = 1,502 474 351*(1+(1/10)+ ((31,2 — 23,5)² / 828,50))^½ = 1,6 262 596 млн руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 90% случаев не будет превышена, составит:

Дy_p = t_табл * m_yр = 2,3060 * 1,6 262 596 = 3,7 501 546

Доверительный интервал прогноза:

г_ур = Y_р ± Дy_p

г_урmin = 40,598 295 — 3,7 501 546 = 36,848 141 млн руб.

г_урmax = 40,598 295 + 3,7 501 546 = 44,348 449 млн руб.

Среднее значение показателя составит:

Y_p = (36,848 141 + 44,348 449) / 2 = 40,598 295 млн руб.

Задание 7

Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза График фактических и прогнозируемых параметров. Рис.3

Задание 8

Составить уравнения нелинейной регрессии:

· Гиперболической

· Степенной

· Показательной Построить графики построенных уравнений регрессии.

Y (x) = 54,1842 + (-415,755) * 1/x — гиперболическое уравнение регрессии.

Y (x) = 4,746 556 * X^0,625 215 — степенное уравнение регрессии.

Y (x) = 17,38 287 * 1,27 093^X показательное уравнение регрессии.

Графики моделей представлены ниже на рисунках 4,5 и 6.

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Задание 9

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициент эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.

Коэффициенты (индексы) детерминации:

R²_гип = R_xy = 0,869 064 776

R²_степ = R_xy = 0,978 207 122

R²_показ = R_xy = 0,959 136 358

Коэффициенты эластичности:

Э_гип = -b / (a * x + b) = 0,484 804 473

Э_степ = b = 0,625 215

Э_показ = x * lnb = 0,628 221

Средние относительные ошибки аппроксимации:

А = 1/n *? |y — y_xi| * 100%

А_гип = 7,26%

А_степ = 3,40%

А_показ = 3,82%

Как мы видим, степенная регрессия наиболее интересна в экономическом смысле, потому что у нее самый низкий показатель средней ошибки аппроксимации, самый высокий показатель эластичности и детерминации. Это говорит о том, что у степенной регрессионной модели высокое качество, она предлагает наибольшую прибыль и более зависима от фактора Х (капиталовложений).

1. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И. И. Елисеева, С. В. Курашева, Н. М. Гордеенко и др.; Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 192.: ил.

2. Эконометрика. Учебник для вузов.; Под ред. чл. — кор. РАН И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 344.