Паритет европейских опционов

Соотношение цен опционов на покупку и опционов на продажу, их взаимосвязь со стоимостью базового средства целесообразно анализировать с использованием паритета европейских опционов.

Предположим, что в один портфель объединяются базовая акция и опцион на продажу этой акции (цена реализации опциона К = 100 руб.). Можно понять, какие выплаты станет получать владелец подобного портфеля, если совместить графики рис. 6.1, б и в. Когда цена базовой акции меньше цены реализации опциона, то владелец опциона получает выигрыш, который уменьшается со 100 руб. до нуля по мере роста цены акции с нуля до 100 руб. Но в гаком случае портфель на интервале роста цены акции от 0 до 100 руб. должен давать постоянную отдачу в 100 руб. Когда цена базовой акции достигнет цены реализации опциона К = 100 руб., то стоимость опциона станет равной нулю, поэтому в дальнейшем выплаты портфеля будут соответствовать цене акции. В итоге график выплат портфеля отразится кривой па рис. 6.1, г — вплоть до цены реализации падение стоимости опциона компенсируется ростом выплат по базовой акции, поэтому портфель обеспечивает постоянную отдачу 100 руб.; после того, как цена акции станет равной К = 100 руб., выплаты портфеля совпадают со стоимостью базовой акции.

Данный рис. 6.1, г иллюстрирует соотношение между опционами на продажу и опционами на покупку. Чтобы понять эту взаимосвязь, сравним рис. 6.1, а для опциона на покупку и рис. 6.1, г для портфеля: очевидно, что как бы ни менялась цена базовой акции, стоимость портфеля, содержащего основную акцию и опцион на ее продажу, в момент окончания опциона всегда на 100 руб. (т.е. на цену реализации) выше стоимости опциона на покупку базовой акции. Иными словами, если инвестор:

• а) купит опцион на покупку базовой акции;
• б) отложит столько денег, чтобы в момент окончания опциона иметь 100 руб., необходимые для покупки базовой акции по цене реализации (это можно сделать, купив безрисковую облигацию с номиналом, равным цене реализации К = 100 руб., по цене, составляющей приведенную стоимость величины К), то он совершит точно такое же инвестирование, как если бы он купил базовую акцию и опцион на ее продажу. В момент окончания опциона обе стратегии предоставят инвестору выбор — либо иметь 100 руб. (если цена акции меньше цены реализации), либо иметь на руках базовую акцию (если ее цена выше цены реализации). Поскольку два варианта дают идентичные выплаты, они в любое время должны иметь одинаковую цену. Этот вывод дает одно из фундаментальных положений для европейских опционов (реализуемых в момент окончания их срока):

(6.1).

Это соотношение принято называть паритетом европейских опционов. Формулу (6.1) можно преобразовывать, перенося слагаемые из одной части равенства в другую. Отсюда можно вывести и иные равенства для оценки стоимости опциона и акции в момент окончания срока опциона. Например:

Паритет опционов на акции, по которым выплачивается известный дивиденд

Изменится ли паритет опционов, если по базовой акции будет выплачиваться дивиденд? Если предположить, что стоимость базовой акции возрастает на сумму дивидендов, то стоимость опциона на покупку должна увеличиться, а опциона на продажу — упасть. Для определения условий паритета опционов в этом случае предположим, что по базовой акции в момент t1 должен выплачиваться дивиденд D1. В этом случае паритет опционов примет следующий вид:

(6.2).

Пример 6.3. Имеется европейский опцион колл на акции, по которым выплачивается дивиденд, со сроком окончания шесть месяцев. Цена опциона 8,92 руб. Текущая рыночная цена акции 65 руб., а цена исполнения опциона 60 руб. Через четыре месяца по базовой акции ожидается дивиденд в размере 1 руб. Непрерывно начисляемая ставка процента составляет 10% в год. Чему равна цена европейского опциона па продажу с аналогичными начальными условиями?

Решение

Проведем вычисления с использованием формулы (6.2):

Если по базовой акции за время существования опциона выплачивается несколько дивидендов, то, обозначив PV(D) приведенную стоимость всех дивидендов, можно утверждать, что.

(6.3).

Эта формула позволяет отразить соотношение цен опционов на покупку и опционов на продажу в случае выплаты по базовой акции нескольких дивидендов.

Паритет американских опционов

Согласно правилу 7 американский опцион па покупку акции, но которой не выплачивается дивиденд, нерационально исполнять до даты окончания опциона, т. е. возможность досрочной реализации такого американского опциона имеет нулевую стоимость. В таком случае цена американского опциона колл на акции, по которым не выплачивается дивиденд, равна стоимости эквивалентного европейского опциона.

Однако, как будет показано позже, иногда американские опционы на продажу выгоднее исполнять ранее срока их окончания. Поэтому американский опцион на продажу может иметь цену, превышающую цену эквивалентного европейского опциона. Тогда паритет американских опционов на акции, по которым не выплачивается дивиденд, можно представить следующим образом:

(6.4).

Можно доказать, что при нарушении любого из этих условий возникнут арбитражные возможности.

Если по базовой акции американского опциона выплачиваются дивиденды, приведенная стоимость которых составляет величину PV(D), то паритет опционов принимает вид.

(6.5).