Корреляционная энергия. 
Теоретическое исследование влияния зоны проводимости на структуру энергетических уровней примесных ионов в кристаллах

В данной работе учет многочастичных корреляций сводится к вычислению собственно-энергетической части как суммы диаграмм, главных по параметру 1/н Ѓб 1. Это означает, что при отборе диаграмм учитываются только те из них, которые в каждом порядке теории возмущений по кулоновскому взаимодействию максимальны по параметру 1/н. Каждая фермионная петля вносит в диаграмму вклад, пропорциональный большому параметру н. Такой отбор диаграмм, по существу, является 1/н-разложением и приводит к главной последовательности диаграмм, формально совпадающей с последовательностью RPA — диаграмм. 14,20] Отбор диаграмм по параметру 1/н Ѓб 1 приводит к системе самосогласованных уравнений, диаграммное представление которых показано на рисунке Рисунок 3.1 — Самосогласованная система диаграммных уравнений для собственно-энергетической части функции Грина Первое диаграммное уравнение определяет собственно-энергетическую часть, которую можно записать в виде:

(3.8).

Или в виде:

(3.9).

(3.11).

(3.12).

где — перенормированная мацубаровская функция Грина электрона, = /2, щ — мацубаровская частота, (щ, p) — собственно-энергетическая часть, µ - химический потенциал, Т-температура системы, S — площадь слоя, — вклад в собственно-энергетическую часть прямого кулоновского взаимодействия, — вклад обменного взаимодействия, — корреляционный вклад.

Перенормированное взаимодействие (щ, p), входящее в (3.11), удовлетворяет второму диаграммному уравнению, которое имеет вид.

(3.13).

При этом поляризационный оператор не зависит от сорта частиц и равен.

В случае взаимодействием можно пренебречь. Тогда решение уравнения (3.13) приобретает вид.

(3.15).

Если же, то взаимодействие. В это случае решение уравнения (3.13) получается из решения (3.15) заменой поляризационного оперетора на удвоенный:.

Вклад прямого кулоновского взаимодействия (3.9) вычисляется точно.

(3.16).

поскольку и. Вычисление обменного вклада тоже легко приводится и дает величину.

(3.17).

В дальнейшем будет показано, что этим членом можно пренебречь по параметру 1/н как в случае > 1, так и в случае .

Для того чтобы вычислить химический потенциал частиц как функцию концентрации n, найдем собственно-энергетическую часть У (0, pF), используя самосогласованную систему уравнений (3.8) — (3.11). Химический потенциал связан с собственно — энергетической частью и импульсом Ферми pF известным соотношением:

(3.18).

В выражении (3.11) для собственно-энергетической части в случае l? 1 перенормированное взаимодействие Uбб (k, щ) имеет вид (11). Как было указано выше, в случае l Ѓб 1 в выражении (3.15) поляризационный оператор заменяется на удвоенный. В обоих случаях главный вклад в интеграл для корреляционной составляющей собственно-энергетической части дают импульсы и частоты, что связано с малостью импульса Ферми из-за фактора 1/н. Эти импульсы и частоты оказываются порядка и, что будет показано в дальнейшем. 17] В связи с тем что импульсы, дающие главный вклад в интеграл (3.11) для, велики по сравнению с импульсом Ферми (), перенормированное взаимодействие (k, щ) (3.15) определяется асимптотикой поляризационного оператора при большой передаче импульса (k Ѓв pF):

(3.19).

В этом случае перенормированное взаимодействие (3.15) при l >> 1 имеет вид.

(3.20).

В случае l << 1 оно получается из (3.20) заменой плотности n на удвоенную:

Вычисление корреляционного вклада (3.11) в собственно-энергетическую часть для внешних импульсов и частот и дает величину, не зависящую от и [18]. Как нетрудно убедиться, в случае l >> 1 оно приводит к интегралу.

(3.21).

=.

В случае l Ѓб 1 корреляционная поправка получается из (3.21) заменой плотности n > 2n, что фактически означает замену константы C > C.

Главный вклад в интеграл (3.21), как мы и предполагали, воспользовавшись асимптотикой поляризационного оператора для больших импульсов, вносят импульсы и частоты. Для оценки последнего интеграла можно ввести новые переменные, и. После этого подынтегральное выражение перестает зависеть от n и полученый интеграл в новых переменных дает константу порядка единицы. Численная оценка константы пропорциональности С в выражении (3.21) дает величину С2.528.

Обменным вкладом (3.17) собственно-энергетическую часть можно пренебречь по сравнению с корреляционным вкладом, если, что и предполагается в дальнейшем. Подставляя полученные для собственно-энергетической части выражения в (3.18), получим выражение для химического потенциала при :

(3.22).

где первый член есть кинетическая энергия, второй — поправка (12), связанная с прямым кулоновским взаимодействием, а последний корреляционная поправка (3.21). При выражение для химического потенциала получается из (3.22) заменой .