Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А_и А₂, Л₃,…, Л", независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

где q, =4,/ = 1,2,3,…,п.

В частности, если все п событий имеют одинаковую вероятность р, то вероятность появления хотя бы одного из событий:

Пример 3.19. Используя условие примера 3.15, найти вероятность того, что в течение ночи потребуют к себе внимания медсестры по крайней мере одна из трех палат (событие Е).

Решение. Вероятность вызова медсестры каждой палатой не зависит от вызовов других палат. Поэтому рассматриваемые события А (вызов с 1-й палаты), В (вызов с 2-й палаты) и С (вызов с 3-й палаты) — независимы. Вероятность событий, противоположных событиям А, В и С, соответственно равны:

Искомая вероятность

Пример 3.20. Среди семян подсолнечника иногда встречаются невосприимчивые к некоторой распространенной болезни. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью не меньшей 0,999 ожидать, что вырастет хотя бы одно растение, невосприимчивое к этой болезни, если для каждого растения вероятность быть восприимчивым к ней равна 0,999 999?

Решение. Пусть необходимо посеять п семян. Вероятность вырастить хотя бы одно растение, невосприимчивое к некоторой болезни (событие А), равна

где q =0,999 999 — вероятность восприимчивости к ней.

По условию вероятности рассматриваемых событий Р (А) = 0,999, q = 0,999 999 и имеет место соотношение или

Решая полученное уравнение путем логарифмирования, окончательно получим.