Границы для модуля однолистной функции

Заметив, что | /(-гг) / =.

z

= I ^ j'(z)dz, где интегрирование совершается вдоль радиуса точки г, ¹ о получим:

Пользуясь второй частью неравенства (9), найдём:

Чтобы найти нижнюю границу, проведём через точку г окружность С с центром в точке 0 и пусть Г — кривая, в которую функций / (z) преобразует эту окружность. Соединяя точку / (z) с точкой /(0) = 0 отрезком прямой, отметим ближайшую к началу координат точку пересечения отрезка с Г. Если Z — соответствующая точка С, то аффикс найденной точки будет f (z_x). Обозначая через t = t (s) уравнение кривой, соединяющей точки 0 и z_lf которую функция f (z) преобразует в радиус-вектор точки f (z_x)_t получим:

где интегрирование производится вдоль кривой t = t (s). В силу неравенства (9>

'^Цттш)^{5следовательно}'.

Заметив, что z_x = z_t получим:

Объединяя оба неравенства (12) и (13), окончательный результат запишем так:

Установленные границы для |/(z)| наилучшие, потому что они достигаются функцией ₍₁_f^₎₂'.

Левая часть неравенства (14) содержит известный уже из п. 4 результат о положении граничных точек, так как при 1 z | -* 1 нижняя граница f (z) стремится к Правая часть неравенства (14) ограничивает рост функции, голоморфной и однолистной в единичном круге.

При приближении к окружности модуль функции может становиться бесконечно большим только как вторая степень обратной величины расстояния от окружности. Отсюда возможно заключить о справедливости следующего общего предложения: пусть D — произвольная однолистная область, содержащая точку z = 0, и / (г) — голоморфная функция в области D, которая отображает однолистно область D. Пусть, далее, G — произвольное замкнутое множество точек, принадлежащее области D: тогда существует число М, зависящее только от D и G. но не зависящее от f{z)_p такое, что всюду на G будет

Для доказательства заметим, что

есть функция, голоморфная и однолистная в D.

Для достаточно малого круга с центром z=^0 возможно использовать неравенство (14), именно, если круг |z</? принадлежит области D, то в круге |*ls^O/?(O<0 < 1) имеем: и, значит,

Теперь, поступая <�ан же, как при аналитическом продолжении, покроем данное множество цепью из конечного числа кругов, отправляясь от круга с центром z = 0. Во втором круге цепи, центр которого г₀ принадлежит первому кругу, имеем:

и, значит,.

Так как то получаем*

Сравнивая неравенства (15) и (16), мы видим что одновременно в обоих кругах цепи имеет место неравенство (16). Продолжая этот процесс далее, мы убеждаемся в справедливости неравенства.

на всей системе кругов цепи, г. е. и подавно на множестве точек G, причёмчисло М не зависит от вида функции f (z).