Шар (граничные условия третьего рода)

Рассмотрим симметричную задачу теплопроводности для шара при граничных условиях третьего рода. Математическая постановка задачи имеет вид.

где 0 = (ТТ_ср)/(Т₀ — Г_ср) — относительная избыточная температура.

Следуя методу разделения переменных, решение задачи (5.50)—(5.53) разыскивается в виде (5.44), где функция vy (.r) удовлетворяет уравнению Бесселя вида (5.45).

Рис. 5.14. Изменение невязки е Рис. 5.15. Изменение невязки е.

уравнения (5.40) для и = 6 уравнения (5.40) во времени.

(шесть приближений) (Fo = 0,05) для и = 6 в точке х = 1.

Граничные условия для уравнения (5.45) согласно (5.52), (5.53) будут иметь вид.

Следуя методу Бубнова —Галеркина, решение задачи (5.45), (5.54), (5.55) разыскивается в виде.

где п^(х) — координатные функции, определяемые по формуле.

Для нахождения неизвестных коэффициентов bk (k = 1 , п) составляется невязка уравнения (5.45) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям г|/₍(х):

Соотношение (5.58) представляет систему однородных алгебраических линейных уравнений вида (5.15). Однородная система имеет нетривиальное решение, если определитель ее вида (5.16) равен нулю. Раскрывая определитель, относительно X получим алгебраический полином п-й степени. Неизвестные b/_t находятся из системы уравнений (5.15).

Приближенное решение задачи (5.50)—(5.53) записывается в виде.

Неизвестные коэффициенты /ф, находятся из начального условия (5.51). Для этого составляется его невязка и требуется ортогональность невязки ко всем собственным функциям:

Из решения системы уравнений (5.60) при Bi = 1 находим значения.

Собственные числа для трех, шести п десяти приближений при Bi = 1, а также точные их значения, представлены в табл. 5.5.

На графиках рис. 5.17 представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (5.59) в шестом приближении в сравнении с точным решением 1491.

Изменения невязок уравнения (5.50) и начального условия (5.51) представлены на графиках рис. 5.18—5.20.

Рис. 5.18. Изменение невязки е Рис. 5.19. Изменение невязки е уравнения (5.50) при Bi = 1 для и = 6 уравнения (5.50) во времени при Bi = 1 (шесть приближений) (Fo = 0,02) для и = 6 в точке л: = 1.

Рис. 5.20. Изменение невязки s начального условия при п = 6 (Fo = 0).