Уравнения высших степеней (возвратные)

Задача: Решить уравнение.

12z⁴-16z³-11z²-16z+12=0.

Решение: Это уравнение имеет в левой части возвратный многочлен, т. е. является возвратным и имеет четную степень 4. Преобразуем его левую часть:

12z⁴-16z³-11z²-16z +12 = z²(12z²-16z-11−16*1/z+12*1/z²) =

= z²[12(z²+1/z²)-16(z+1/z)-11] = z²[12(у²-2)-16у-11]=z²(12у²-16у — 35).

Так как z=0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к квадратному уравнению относительно у:

12у2−16у-35=0.

Решим его.

Д=b²-4ac=16²-4*12*(-35)=256+1680=1936.

у₁= (-b+vД)/2a = (16+44)/2*12=60/24=5/2.

у₂ = (-b — vД)/2a= (16- 44)/2*12= -28/24= -7/6.

Таким образом, для нахождения корней первоначального уравнения мы получаем две системы:

z+ 1/z= -7/6, z+1/z= 5/2.

Решая их, получаем четыре корня исходного уравнения:

z_{1, 2}= (- 7±iv95)/12, z₃=2, z₄=Ѕ

Ответ: (- 7+iv95)/12; (- 7 — iv95)/12; 2; Ѕ.

Задача 2: Решить уравнение.

4z¹¹+4z¹⁰-21z⁹-21z⁸+17z⁷+17z⁶+17z⁵+17z⁴-21z³-21z²+4z+4=0.

Решение: Это возвратное уравнение нечетной степени 11.

Согласно теореме разделим его левую часть на z+1:

4z¹¹+4z¹⁰-21z⁹-21z⁸+17z⁷+17z⁶+17z⁵+17z⁴-21z³-21z²+4z+4=

= (z+1) (4z¹⁰-21z⁸+17z⁶+17z⁴-21z²+4).

Таким образом, мы получили два уравнения (т.е. систему уравнений):

Первое имеет корень z₁= -1. Второе — представляет собой возвратное уравнение, левую часть которого мы преобразуем:

4z¹⁰-21z⁸+17z⁶+17z⁴-21z²+4=z⁵(4z⁵-21z³+17z+17*1/z — 21*1/z³+4*1/z⁵)=

= z⁵[4(z⁵+1/z⁵)-21(z³+1/z³)+17(z+1/z)]=z⁵[4(у⁵-5у³+5у)-21(у³-3у)+17у]=

=z⁵(4у⁵ — 41у³+100у).

Так как z=0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к следующему уравнению:

4у⁵ — 41у³+100у = 0.

Вынесем у за скобки:

у (4у⁴ — 41у²+100) = 0.

у =0 или.

4у⁴ — 41у²+ 100 = 0.

Решим биквадратное уравнение, заменяя.

у² = t, у= ± vt,

4t² — 41t + 100 = 0.

Д=b²-4ac= (-41)²— 4 * 4 * 100 = 1681 — 1600 = 81

t_{1, 2} = (-b ± vД)/2a= (41±v81)/2*4 = (41±9)/8;

t₁ = 50/8 = 25/4,

t₂ = 32/8 = 4.

у_{1, 2} = ± v25/4 = ± 5/2, у_{3, 4} = ± v4 = ± 2.

Итак, мы получили пять корней:

у=0, у= 5/2, у= -5/2, у=2, у= -2;

Следовательно, мы имеем пять уравнений:

z+1/z=0, z+1/z= -5/2, z+1/z= 5/2, z+1/z= 2, z+1/z= - 2.

Решая их и учитывая корень z₁ = - 1, получим одиннадцать корней исходного уравнения:

z₁= -1, z₂=i, z₃= -i, z₄= -2, z₅= -Ѕ, z₆=2, z₇=Ѕ, z₈=z₉= -1, z₁₀=z₁₁=1.

Ответ: — i, -2, -1, -Ѕ, Ѕ, 1, 2, i.