Спецификация модели парной линейной регрессии

В случае парной регрессии рассматривается один объясняющий фактор: через y обозначим изучаемый эконометрический показатель; через x — объясняющий фактор. Эконометрическая модель, приводящая к парной регрессии, имеет следующий вид y = + f x () e, (1.3.1) где f x () — неизвестная функциональная зависимость (теоретическая регрессия); e — возмущение, случайное слагаемое, представляющее собой совокупное действие не включенных в модель факторов, погрешностей. Основная задача эконометрического моделирования — построение по выборке эмпирической модели, выборочной парной регрессии f x ()), являющейся оценкой теоретической регрессии (функции f x ()): y = f x ())), (1.3.2) здесь f x ()) — эмпирическая (выборочная) регрессия, описывающая усредненную по x зависимость между изучаемым показателем и объясняющим фактором. После построения выборочной регрессии обычно производится верификация модели — проверка статистической значимости и адекватности построенной парной регрессии имеющимся эмпирическим данным. 7 Экспериментальная основа построения парной эмпирической регрессии — двумерная выборка: 1 1 (,),(,) n n x y K x y, где n — объем выборки (объем массива экспериментальных данных). Основная задача спецификации модели — выбор вида функциональной зависимости. В случае парной регрессии обычно рассматриваются функциональные зависимости следующего вида f () x x = + a b — линейная; (1.3.3) 2 1 2 f () x =a + + b b x x — параболическая; (1.3.4) f x () x b = + a — гиперболическая; (1.3.5) () e x f x b =a — показательная; (1.3.6) f () x xb =a — степенная, (1.3.7) а так же некоторые другие. Заметим, что функциональные зависимости 1.3.3, 1.3.4 и 1.3.5 линейны по своим параметрам a и b. Основные методы выбора функциональной зависимости f x (): 1) Геометрический; 2) Эмпирический; 3) Аналитический. Геометрический метод выбора функциональной зависимости сводится к следующему. На координатной плоскости Oxy наносятся точки (,), 1, i i x y i n = K, соответствующие выборке. Полученное графическое изображение называется полем корреляции (диаграммой рассеяния). Исходя из получившейся конфигурации точек, выбирается наиболее подходящий вид параметрической функциональной зависимости f x (). На рисунке 1.3.1 приведен пример поля корреляции для некоторой выборки объемом 11 наблюдений (каждому наблюдению со0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X Y Рис. 1.3.1 8 ответствует одна точка) с графиками двух функциональных зависимостей — линейной функции и параболы. Эмпирический метод состоит в следующем. Выбирается некоторая параметрическая функциональная зависимость f x () (см., например, 1.3.3−1.3.7). Для построения по выборке оценки f x ()) этой зависимости чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК). Согласно методу наименьших квадратов значения параметров функции f x ()) (будем обозначать их через a, b) выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений выборочных значений i y от значений ()i f x) была минимальной () 2, 1 () min n i i a b i y f x = е ѕѕ®), (1.3.8) минимум ищется по параметрам a b, которые входят в зависимость f x ()). Найденные значения параметров, которые минимизируют указанную сумму квадратов разностей, называются оценками неизвестных параметров регрессии по методу наименьших квадратов (оценками МНК). Выборочная регрессия y = f x ())) (или (), 1, i i y = = f x i n)) K), в которую подставлены найденные значения, уже не содержит неизвестных параметров и является оценкой теоретической регрессии. Именно эту зависимость f x ()) будем рассматривать как эмпирическую усредненную зависимость изучаемого показателя от объясняющего фактора. После нахождения эмпирического уравнения регрессии вычисляются значения () i i y = f x)) и остатки i i i eyy =), i n =1,. По величине остаточной суммы квадратов 2 1 () n i i i y y = е) можно судить о качестве соответствия эмпирической функции f x ()) имеющимся в наличии статистическим наблюдениям. Перебирая разные функциональные зависимости и, каждый раз, действуя подобным образом можно практически подобрать наиболее подходящую функцию для описания имеющихся данных. Аналитический метод сводится к попытке выяснения содержательного смысла зависимости изучаемого показателя от объясняющего фактора и последующего выбора на этой основе соответствующей функциональной зависимости. Так, если y — расходы фирмы, x — объем выпущенной продукции за месяц, то нетрудно получить следующую модель зависимости расходов от объема выпущенной продукции: 9 y x = a + + b e, где a — условно-постоянные расходы, b x — условно-переменные расходы. В практике эконометрического анализа часто используют линейную парную регрессию. В модели парной линейной регрессии зависимость 1.3.1 между переменными представляется в виде y x =a + + b e, (1.3.9) т. е. теоретическая регрессия имеет вид 1.3.3. На основе выборочных наблюдений оценка теоретической регрессии — выборочная (эмпирическая) регрессия y) строится в виде: y = + a bx), (1.3.10) где a, b являются оценками параметров a, b теоретической регрессии.