Орбиты планет и спутников

называется эффективной потенциальной энергией частицы. Первое слагаемое в этом выражении

Функция называется центробежной энергией частицы.

График зависимости эффективной потенциальной энергии частицы от расстояния г изображен на рис. 8.3. При г —? 0 функция Ф (г) обращается ь + оо, а при г —> оо она стремится к нулю:

При г = г₀, где.

функция Ф (г) принимает наименьшее значение.

При помощи функции (8.19) уравнению (8.18) можно придать вид.

Первое слагаемое в левой части этого равенства есть положительная величина. Из этого следует, что частица может находиться только на таком расстоянии от начала координат, при котором ее эффективная потенциальная энергия меньше полной:

Это неравенство позволяет качественно исследовать возможный характер движения частицы.

Рис. 8.3. Эффективная потенциальная энергия

Неравенство (8.23) можно решить графически. Для этого на оси Ф следует отметить заданное значение полной энергии и провести горизонтальную прямую, соответствующую этому значению. Неравенству (8.23) будут удовлетворять только те значения г, для которых график функции Ф = Ф (г) лежит ниже проведенной прямой. Из рис. 8.3 видно, что при Е > 0 движение частицы будет инфинитным, т. е. при движении частицы ее расстояние г до начала координат будет принимать все значения, большие некоторого r_mtn: г > r_min. При Ф_т«_п < Е < 0 движение частицы будет финитным, т. е. расстояние г будет удовлетворять неравенству

f*m"n S ** S: Гтаг •.

Если Е = Ф_т,", то решением неравенства (8.23) будет только одно значение г = г_0% т. е. частица будет двигаться по окружности радиуса г₀. При этом согласно формуле (8.17) угловая скорость частицы не будет зависеть от времени. Второй закон Ньютона для движения частицы по.

Умножив это равенство на г_0} получим равенство, левая часть которот есть удвоенная кинетическая энергия, а правая — модуль потенциальной энергии:

Из этого равенства следует, что полная энергия частицы, движущейся, но окружности под действием силы тяготения, равна с обратным знаком ее кинетической энергии: Е = —Т. Равенство (8.24) является частным случаем теоремы, которая имеет следующую формулировку. Средняя кинетическая энергия (Т) системы частиц, которые совершают финитные движения под действием сил притяжения, подчиняющихся закону обратных квадратов, равна половине ее средней потенциальной энергии (W), взятой со знаком минус:

Найдем теперь уравнение траектории частицы в полярных координатах, т. е. зависимость г = г (<�р). Для этого продифференцируем обе части уравнения (8.18) по времени. После несложных преобразований придем к уравнению которое выражает собой второй закон Ньютона в проекциях на радиальное направление. Слагаемое L²//i г³ в правой части этого уравнения есть центробежная сила инерции. Чтобы найти решение этого уравнения, представим функцию г = r (t) ъ виде.

где? = ?(у?) — неизвестная функция. Выведем уравнение для этой функции.

Применяя правило дифференцирования сложной функции, найдем производную от функции (8.27) по времени t :

Найдем теперь вторую производную от г по t :

Подстановка (8.27) и (8.29) в (8.26) приводит к уравнению для функции.

Нетрудно проверить, что функция.

где ( — новая постоянная, является решением уравнения (8.30). Постоянную интегрирования А удобно представить в виде.

Используя эти обозначения и соотношения (8.27) и (8.31), запишем искомое уравнение траектории так:

здесь величины рис называются соответственно параметром и эксцентриситетом орбиты.

Графики функции (8.33) для различных значений эксцентриситета е приведены на рис. 8.4. При с = 0 функция (8.33) имеет вид г = р. Это есть уравнение окружности радиуса р. Кривая, описываемая уравнением (8.33), при 0 < с < 1 является эллипсом, при е = 1 — параболой, а при с > 1 — гиперболой. Все эти кривые имеют общее название — конические сечения, так как все они есть линии пересечения конуса и плоскости.

Ньютон установил следующий закон движения двух тел, взаимодействующих по закону (8.10). Орбита каждого из этих тел представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции. Как видим, первый закон Кеплера является частным случаем этого закона.

Рис. 8-4- Траектории движения тел, взаимодействующих по закону обратных квадратов. Конические сечения

При этом, как следует из формул (8.28) и (8.31), г = 0. Поэтому согласно (8.20) полная энергия будет равна Установим теперь соотношение, связывающее эксцентриситет орбиты и энергию частицы. Так как полная энергия частицы не изменяется при ее движении, достаточно определить ее значение только в какой-то одной точке орбиты, например, когда расстояние от частицы до начала координат достигает минимума. Функция (8.33) принимает наименьшее значение при <�р = iг :

Вычисления по формуле (8.19) дают.

Из этого соотношения следует, что при 0 < с < 1 энергия частицы удовлетворяет неравенству Ф_т«п < Е < 0 и ее движение финитно, а при с > 1 энергия неотрицательна (Е > 0) и движение частицы инфинитно.