Введение. 
Числовые и функциональные ряды

Предлагаемые методические указания ставят своей целью помочь студентам второго курса усвоить теоретический и практический материалы по теме «Ряды».

В каждом разделе после теоретической части разбираются типовые задачи.

В методических указаниях охвачены следующие темы: числовые ряды (знакопостоянные и знакопеременные), функциональные и степенные ряды, разложение функций в ряды Тейлора.

Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам.

Настоящие методические указания могут использоваться на всех факультетах и специальностях.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Знакоположительные ряды

Числовой ряд.

(1).

называется сходящимся, если его n-частичная сумма.

имеет предел при, при этом.

называется суммой ряда, а.

называется остатком ряда.

Необходимым признаком сходимости ряда является условие:, однако, это условие не является достаточным.

Для того чтобы выяснить, сходится ли числовой ряд (1) или расходится, необходимо воспользоваться достаточными признаками сходимости, а именно:

Признак сравнения.

1) Если, начиная с некоторого и ряд.

(2).

сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать :

а) геометрическую прогрессию.

,.

сходящуюся при и расходящуюся при ;

б) гармонический ряд, который расходится;

в) ряд Дирихле, сходящийся при и расходящийся, при p<1 (что доказывается с помощью интегрального признака Коши).

2) Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности,, то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд.

.

Так как данный n-й член ряда имеет вид ln (1+), где — бесконечно малая величина при n, и известно, что ln (1, то этот ряд сравниваем с рядом.

.

представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд.

.

n-й член данного ряда:

~ ,.

т.е. при n ведет себя как гармонический, следовательно, ряд также расходится. Часто, прежде чем использовать какой-либо из достаточных признаков сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.

Признак Даламбера. Пусть, начиная с некоторого n=n₀ и существует предел.

.

то ряд (1) сходится при q<1 и расходится при q<0. Если q=1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

Пример 3.

.

Найдем.

следовательно, исследуемый ряд сходится.

Пример 4. Исследовать ряд.

Найдем.

.

следовательно, ряд сходится.