Введение. 
Случайные величины и распределения вероятностей

При измерении определенной характеристики какого-либо объекта получают некоторую величину, которая, как правило, является действительным числом. При этом для разных объектов или даже для одного и того же объекта при повторных измерениях эти числа представляют собой случайные величины, характеризующиеся определенными закономерностями. Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что случайные величины являются существенным элементом любой модели, предназначенной для описания условий и результатов очень многих научных экспериментов.

Понятия о случайных величинах и функциях распределения

Величина, значение которой меняется от опыта к опыту случайным образом, носит название случайной или стохастической величины. В отличии от неслучайных (детерминированных) величин для случайной величины нельзя предсказать точно, какое она примет значение в определенных условиях, а можно только указать закон распределения этой случайной величины.

Закон распределения считается заданным, если:

• — указано множество возможных значений случайной величины;
• — указан способ количественного определения вероятности попадания случайной величины в произвольную область этого множества.

Рассмотрим пример.

Пусть на плоскость бросают два тела, имеющие форму тетраэдра, грани которого занумерованы числами 1, 2, 3, 4. Допустим, что для каждого тетраэдра вероятность упасть на любую грань равна ¼. В этом случае, если бросания тетраэдров выполняются независимо, то вероятность получить, например, результат (2, 4), т. е. вероятность того, что первый тетраэдр упадет на грань 2, второй — на грань 4, равна (¼)(¼)=1/16. Аналогично вычисляются и вероятности других исходов, так что каждый из 16 элементарных исходов имеет вероятность 1/16. На этом же пространстве элементарных исходов определим некоторую величину Y, которая будет называться случайной величиной и значения которой y представляют собой суммы чисел, стоящих на нижних гранях тетраэдра.

Используя данные этой таблицы, легко получить распределение вероятностей случайной величины (табл.2, рис 1).

Определение. Пусть S — множество элементарных событий, тогда всякая однозначная числовая функция X, определенная на множестве S, называется случайной величиной.

Если пространство элементарных исходов конечно или счетно, мы имеем дело с дискретными случайными величинами, и их распределение вероятностей называется дискретным.

В том случае, когда значения случайной величины заполняют целиком некоторый замкнутый или открытый, в т. ч. бесконечный интервал, говорят о непрерывных случайных величинах и непрерывных распределениях вероятности.

Определение. Функция F (x)=p (X.

График функции распределения для рассмотренного примера с тетраэдрами приведен на рис. 2.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

— неубывающая функция, т. е.

Функция непрерывна слева, т. е.

3. Функция стремится к нулю, если x стремится к.

Функция стремится к единице, если x стремится к.

Из определения функции распределения и ее второго свойства следует, что разность стремится к вероятности того, что случайная величина примет значение, если x приближается к справа, и стремится к нулю, если x приближается к слева.

Функция распределения непрерывной величины всюду непрерывна и имеет непрерывную производную, кроме может быть конечного числа точек на всяком конечном интервале.

Определение. Если X — случайная величина, то каково бы ни было вещественное число x, существует функция f (x)=p (X=x), задающая вероятность того, что X принимает значение x. Эта функция задает распределение частот и носит название плотности вероятности.

Функция распределения непрерывной случайной величины связана с плотностью вероятности следующим соотношением.

(1).

(В этой главе случайные величины и действительные переменные обозначаются одной и той же буквой, поэтому и переменная интегрирования и предел интегрирования обозначены через x.).

Как следует из свойства 4.

(2).

Таким образом, кривая плотности распределения вместе с осью x ограничивают область с площадью, равной единице (рис. 3 а). Вероятность того, что случайная величина х примет значение, лежащее между двумя заданными числами, равна площади области, ограниченной кривой распределения, осью х и ординатами, проходящими через точки (заштрихованная область на рис 3 а). Эта площадь равна.

(3).

Для дискретных случайных величин плотность распределения определяется наборов вероятностей для отдельных дискретных значений в пространстве элементарных событий.

Рассмотрим пример непрерывного распределения. Говорят, что случайная величина X имеет равномерное распределение на интервале (b, с), если ее плотность вероятности f (x) задается следующим образом:

(4).

В специальном случае c=a/2, b=-a/2 (a>0) плотность распределения есть.

(5).

График этой плотности приведен на рис. 4 (а).

Функция распределения, соответствующая этой плотности, получается в следующем виде:

(-a/2.

Для xa/2 — F (x)=1 (рис. 4 б).

Определения и соотношения для плотности и функции распределения, рассмотренные выше, естественным образом обобщаются на двумерные распределения.

Пара случайных величин (х, y) графически изображается точкой в прямоугольной системе координат. Рассмотрим неотрицательную функцию такую, что.

(7).

Функцию можно рассматривать как двумерную плотность вероятности, и она является двумерным аналогом одномерной плотности для непрерывных случайных величин. Аналогично тому, как это делалось в одномерном случае, можно определить функцию двумерного распределения.

Функция задает некоторую поверхность над плоскостью. Согласно (7), объем, заключенный между этой поверхностью и плоскостью, равен 1. В свою очередь есть объем, заключенный между поверхностью и частью координатной плоскости, ограниченной конкретными значениями .

В случае двумерных дискретных величин распределение может быть задано таблицей в клетках которого представлены вероятности, сопоставляемые дискретным значениям, определяемым координатами ().