Вращательное движение как основная форма относительного движения тел

Для природных процессов наиболее характерно именно вращательное движение, а прямолинейное движение можно рассматривать как частный случай вращательного, когда радиус вращения равен бесконечности (г=оо).

Рассмотрим соотношение кинематических параметров при вращении точечного тела массой т (рис. 2.7). Чисто вращательное движение тела получим при неподвижной оси вращения (если ось движется, получаем сложное движение, которое будет рассмотрено ниже).

Легко заметить, что любая точка тела (см. рис. 2.7, а), например Л, С, D движется по круговой траектории (окружности) с радиусом вращения г,.

Рис. 2.7. Вращение точечного тела.

Движение тела можно рассматривать как совокупность вращательных движений всех его точек относительно данной оси. Рассмотрим движение материальной точки А массой т- вокруг точки О.

При повороте радиуса г на бесконечно малый угол Дф перемещение точки ds = АВ = /гЛр. Тогда касательная линейная скорость.

где  — угловая скорость (имеет размерность — радиан/с или 1/с). По аналогии с линейным ускорением производная  — это угловое уско

рение (имеет размерность рад/с² или с ²).

Заметим, что линейные скорости точек, лежащих на радиусах О А или О В, разные и зависят от расстояния до центра вращения (т.е. от радиуса), в то время как угловые скорости всех точек радиуса одинаковы, так как одинаков для них угол поворота (угловое перемещение Дф).

Для общего случая неравномерного движения при перемещении точки в положение «В» векторы скорости У, V_H.

Разность этих векторов V_A — V_t) Ф ДУ при V_A = V_B равна не нулю (ввиду несовпадения их направлений), а величине ДУ,. Таким образом, полное изменение векторной скорости ДУ = ДУ, + ДУ,. Здесь ДУ₂ = У, — У_й — алгебраическая разность скоростей точки в положении «Л» и «В», а ДУ, — векторная разность.

Для бесконечно малого углового приращения Дф величина ДУ, = ДУ_вф, а ее направление (см. рис. 2.7, в) совпадает с направлением радиуса и направлено к центру вращения «О».

При изменении скоростей величины их приращения У, и У, определяют соответствующие ускорения.

В пределе (при At —*? 0) получаем  — тангенциальное (касатель

ное) ускорение, идентичное ускорению прямолинейного движения (его вектор параллелен вектору скорости).

АН, = Еф, а V = сот, то , Поскольку , а угловая скорость со =.

= V/r, величина нормального (центростремительного) ускорения.

Из рис. 2.7 нетрудно увидеть, что векторы ДЕ, и, А К, взаимно перпендикулярны при Дф —? 0, а значит, и векторы ускорений а¹ и а" взаимно перпендикулярны. Поэтому полное ускорение любой точки.

В поступательном движении а" = 0.

Полное ускорение направлено иод углом к радиусу вращения. Величина этого угла.

Использование векторного описания вращательного движения. Формула Эйлера. Общие понятия о векторном изображении кинематических параметров даны в начале главы. Отметим, что вектор — это всякий направленный отрезок, длина которого называется модулем. Величина физического параметра, не обладающая направлением, называется скаляром (например, масса тела).

Рис. 2.8. Вращение тела вокруг заданной оси.

Нередко для описания вращательного движения используется векторное задание движения. Рассмотрим это на примере тела, вращающегося вокруг оси Az (рис. 2.8). Точка В тела движется по окружности с линейной скоростью V = Ясо. Модуль скорости равен длине вектора скорости V, перпендикулярного радиусу траектории движения точки В (см. рис. 2.8). В общем случае величина радиуса R может быть переменной. Если соединить радиусом-вектором г точку В с произвольным центром А (возможно другое положение этого центра, например, показанное на рисунке пунктиром), то для движения точки В по окружности радиус R = rsin а, а значение вектора скорости V = до sin а.

Здесь со — векторное изображение угловой скорости вращения. Вышеизложенное свидетельствует о том, что модуль линейной скорости численно равен модулю нового вектора со-г (векторного произведения угловой скорости и радиуса-вектора).

Этот новый вектор, согласно правилам векторного умножения, перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы угловой скорости со и радиус-вектор г и направлен в сторону вектора V, если поворот вектора угловой скорости в сторону радиусавектора на наименьший угол производится против часовой стрелки. В ином случае — вектор со • г направлен в обратную сторону.

Вектор скорости лежит в плоскости, перпендикулярной к плоскости треугольника ОАВ, т. е. векторы d х f и V параллельны друг другу и имеют одинаковые модули, поэтому.

Таким образом, вектор линейной скорости любой точки твердого тела во вращательном движении равен векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор этой точки. Это уравнение называется формулой Эйлера.

Дифференцирование выражения (2.12) по времени позволяет получать вектор ускорения.

Вектор еХг = а_г — касательное ускорение точки. Вектор углового ускорения г направлен по вектору d (со знаком плюс, если вращение ускоренное, и со знаком минус, если — замедленное). Второй вектор dxC равен нормальному ускорению данной точки. Векторная сумма нормального и касательного ускорений дает полное ускорение.