Точные методы решения

Все методы решения задач электродинамики можно разделить на точные и приближенные. Если результат решения задачи любым из точных методов является одинаковым, то результаты решения приближенными методами различаются, и степень их точности зависит от характера использованных приближений.

К числу точных методов решения задач электродинамики относят:

• • метод разделения переменных (метод Фурье);
• • метод запаздывающих потенциалов;
• • метод скалярного и векторного интеграла Кирхгофа.

Метод разделения переменных применим в любой ортогональной системе координат, выбранной таким образом, чтобы граничные поверхности тела (либо области пространства) совпадали или были параллельными координатным поверхностям. Решение однородного волнового уравнения в диэлектрической среде (уравнения Даламбера) методом разделения переменных в прямоугольной системе координат представляется в виде.

где С — любая из проекций любого вектора электромагнитного поля на координатные оси; С_а, С₂ — постоянные интегрирования; к_х, к_у, к₂ — проекции волнового числа (постоянной распространения) на координатные оси.

В уравнении (4.29) первое слагаемое описывает уходящую волну, а второе — приходящую. Исходя из физической специфики задачи одно из них (чаще второе) отбрасывается.

Более подробно данный метод решения на конкретном примере плоской волны рассматривается в следующих главах.

Решение волнового уравнения методом запаздывающих потенциалов основано на том физическом представлении, что электромагнитное возмущение, созданное источниками, сосредоточенными в некоторой области пространства, достигает точки наблюдения не мгновенно, а с некоторым запаздыванием, величина которого определяется скоростью распространения возмущения v и расстоянием до точки наблюдения г. Это означает, что интересующая нас характеристика электромагнитного поля в точке наблюдения в настоящий момент времени t обязана своим существованием вариациям источника поля в предшествующий (более ранний) момент времени — |r-— J. Кроме того, амплитуда рассматриваемой характеристики поля в соответствии с условиями излучения, физический смысл которых состоит в том, что на бесконечном удалении от источника амплитуда поля должна стремиться к нулю, убывает пропорционально первой степени расстояния. Таким образом, решение волнового уравнения методом запаздывающих потенциалов будет иметь вид:

• для векторного потенциала, когда источники распределены в объеме V,

• для скалярного потенциала при тех же условиях.

где г — расстояние от каждой точки рассматриваемого объема (поверхности, кривой), где распределены источники, до точки наблюдения;

р^ст — функции координат, описывающие распределение источников (токов, зарядов) внутри рассматриваемого объема (на поверхности, по линии).

Аналогичным образом могут быть записаны решения волновых уравнений и для других характеристик электромагнитного поля. Если источники электромагнитного поля распределены не в объеме, а на поверхности или линейно, интегрирование распространяется на соответствующие поверхности или линии при сохранении общего вида решения.