Прием Верещагина. 
Сопротивление материалов и конструкций

Определение перемещений с помощью интегралов Мора применяется в основном при расчете стержневых конструкций. Если при этом отдельные участки конструкции имеют постоянное сечение и прямолинейны, то зависимости внутренних силовых факторов от единичного силового фактора по осевой координате имеют вид линейных функций. В этом случае вычисление интегралов Мора при ручном счете удобно выполнить графоаналитическим способом, который называется приемом Верещагина^х.

Допустим, что необходимо определить интеграл произведения двух функции.

При этом по меньшей мере одна из двух функций, L (x), изменяется на отрезке интегрирования [0, /] по линейному закону (рис. 6.5):

Что касается функции Ф (х), то закон ее изменения может быть произвольным. Вместе с тем следует отметить, что для большинства практических задач, рассчитываемых ручным способом, эта функция является полиномом не выше второй степени.^[1]

Рис. 6.5. К вычислению интеграла приемом Верещагина.

Произведем преобразование интеграла (6.33) с учетом равенства (6.34):

Первый интеграл представляет собой площадь нелинейной эпюры — О_ф, а второй — статический момент той же эпюры относительно оси Оу, который равен произведению площади нелинейной эпюры на координату ее центра тяжести — х_с.

Учитывая вышеизложенное, запишем интеграл в следующем виде:

Данная формула допускает наглядную интерпретацию (см. рис. 6.5). Первый множитель полученной формулы представляет собой площадь нелинейной эпюры О_ф, а второй — значение ординаты L (x_c) на линейной эпюре, расположенной под центром тяжести нелинейной эпюры.

Таким образом, в соответствии с приемом Верещагина интеграл от произведения двух функции, из которых одна меняется по линейному закону, равен произведению площади нелинейной эпюры па ординату линейной эпюры, находящуюся под центром тяжести нелинейной эпюры.

Учитывая то обстоятельство, что для прямых стержней эпюры силовых факторов от единичной силы изменяются по линейному закону, прием Верещагина оказался весьма удобен для ручного счета при решении широкого круга задач сопротивления материалов.

Для применения приема Верещагина полезно иметь общие площади и координаты центра тяжести простейших фигур (рис. 6.6 и табл. 6.2).

Как правило, нелинейная эпюра допускает представление в виде суперпозиции простейших фигур (рис. 6.7).

Если эпюра Ф (х) представляет собой трапецию, то ее целесообразно разложить на прямоугольник и треугольник или на два треугольника (рис. 6.7, а). Если эпюра Ф (х) состоит из двух треугольников разных знаков, то, чтобы.

Рис. 6.6. Характерные координаты простейших фигур.

Таблица 6.2

Площади и положение центра тяжести простейших фигур

Рис. 6.7. Способы разложения сложных эпюр

не искать координаты центров тяжести этих треугольников, ее лучше заменить двумя треугольниками, расположенными по разные стороны оси (рис. 6.7, б). Если эпюра Ф (.т) получена на участке, на котором действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности q*, то она заменяется параболической эпюрой (горбушкой) и двумя треугольниками (рис. 6.7, в). В этом случае полезно знать, что центр тяжести горбушки расположен посередине, а площадь определяется по формуле.

Здесь b — проекция основания горбушки на ось х, поскольку площадь горбушки не зависит от субъективно полученного угла наклона ее основания на эпюре.

• [1] Андрей Константинович Верещагин (1896—1959) — талантливый советский ученый и изобретатель. В 1924 г., будучи студентом Московского института инженеров транспорта, предложил графоаналитический способ вычисления интеграла Мора для частного случая прямого стержня постоянного поперечного сечения.