Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением:
Мы также рассматриваем систему функций:
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:
.
где ряд в правой части сходится к f по норме в. Здесь:
Коэффициенты: связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:
Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения и не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.
Тригонометрического ряда Фурье
Все утверждения верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве .
Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:
Справедливо равенство Парсеваля:
Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:
коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей:
рассмотрим операцию свертки функций:
где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка на всю прямую. Тогда:
скалярный среднеквадратичный коэффициент фурье.
