Комплексная запись. 
Тригонометрический ряд Фурье

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением:

Мы также рассматриваем систему функций:

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:

.

где ряд в правой части сходится к f по норме в. Здесь:

Коэффициенты: связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения и не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Тригонометрического ряда Фурье

Все утверждения верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве .

Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:

Справедливо равенство Парсеваля:

Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:

коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей:

рассмотрим операцию свертки функций:

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка на всю прямую. Тогда:

скалярный среднеквадратичный коэффициент фурье.