Условная вероятность события

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Например, вероятность наличия следов яда в крови второго пациента (событие А) не зависит от результатов анализа крови первого пациента (событие В). Вероятность стрелком поразить цель во втором выстреле (событие А) не зависит от результата первого выстрела (событие В). Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пример 3.10. В картотеке имеются истории болезней трех пациентов: двух девочек и одного мальчика. Пусть событием В является извлечение истории болезни девочки в первом испытании, событием А — извлечение истории болезни мальчика во втором испытании. Зависит ли событие А от В?

Решение. Допустим, что событие В уже произошло. Тогда вероятность извлечения истории болезни мальчика во втором испытании равна Р{А) = ~. Однако, если извлечена история болезни мальчика в первом испытании (событие В не произошло), то вероятность ее извлечения во втором испытаний равна Р{А) = 0. Следовательно, событие А зависит от события В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В имело место, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А1В). В связи с появлением термина.

«условная вероятность» будем вероятность события Р (А) называть так же безусловной вероятностью события.

Рисунок.

При вычислении условную вероятность Р (А1В) события А при условии, что событие В уже произошло, часто удобно рассматривать как безусловную вероятность, но не на исходном пространстве ?2 элементарных событий, а на новом пространстве С1_Х = В исходов (на рисунке заштрихованная область соответствует событию АВ). Используя геометрическое определение вероятности можно записать:

где S/i, Sab — площади событий В и АВ соответственно. Подчеркнем, что условная вероятность Р (А1 В) — это вероятность, заданная на более узком пространстве исходных элементарных событий.

Пример 3.11. В аптечке 5 термометров: 3 ртутных и 2 спиртовых. Из аптечки последовательно вынимают наугад два термометра. Найти вероятность изъятия ртутного термометра при втором испытании (событие А), если при первом испытании был удален спиртовой термометр (событие В)?

Решение. После удаления спиртового термометра в аптечке осталось 4 термометра: 3 ртутных и 1 спиртовой. Следовательно, искомая условная вероятность изъятия ртутного термометра.

Пример 3.12. Ниже представлена таблица вымирания совокупности лиц в 100 000 человек десятилетнего возраста.

Вымирание лиц десятилетнего возраста.

• 1. Найти вероятность того, что десятилетний ребенок доживет до 70 лет (событие А)?
• 2. Изменится ли вероятность события А, если раньше человек уже достиг 30-летнего возраста (событие В)?

Решение. 1 Вероятность того, что десятилетний ребенок доживет до 70 лет:

2. Из 89 685 тридцатилетних до 70 лет доживает в среднем 37 977 человек. Условная вероятность того, что тридцатилетний человек доживет до семидесяти лет (событие А после выполнения события В) равна.

Следовательно, условная вероятность Р (А1В) не равна безусловной вероятности Р (А).