Поле, создаваемое тонким заряженным диском
Видно, что при х «R этот результат совпадает с формулой (7.59) для поля диполя, как и должно быть. При х —> d/2 получим внешнее поле плоского конденсатора вблизи пластины. Задача 7.18. Найти поле на оси симметрии, создаваемое двумя дисками, заряженными с постоянной поверхностной плотностью о иа. Расстояние между дисками d (рис. 7.49). Решение. Ось х совместим с осью симметрии, и начало координат… Читать ещё >
Поле, создаваемое тонким заряженным диском (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Пусть заряд q равномерно распределен по тонкому диску радиусом R. Очевидно, поле обладает осью симметрии, которая совпадает с осью диска. Совместим ось х с осью симметрии. Радиус-вектор точки Рна оси симметрии, в которой .ищем поле, будет R = 1х. Рассмотрим на диске кольцо радиусом г и шириной dr и элементарный заряд dq' на этом кольце в точке г.
Потенциал, создаваемый этим зарядом в точке Р,.
Видим, что этот потенциал зависит лишь от |г|, т. е. вклад всех элементов кольца будет одинаков. Поэтому потенциал от всего кольца будет равен.
где dq — заряд всего кольца, равный pd V: dq = — • а • 2nr dr. Здесь.
nR а
а — толщина диска, 27irdr — площадь кольца. Итак, потенциал, создаваемый кольцом в точке Р:
Суммируя потенциалы всех таких колец, составляющих диск, т. е интегрируя по г, найдем потенциал, создаваемый всем диском:
В качестве проверки посмотрим, как ведет себя полученная функция при больших значениях X (заранее ясно, что на большом расстоянии потенциал должен вести себя как 1/Х, так как любое ограниченное распределение заряда из бесконечности выглядит как точечный заряд). При больших X имеем:
и для потенциала получим ф (Л') = kq/X, как и должно было быть. Напряженность поля.
знак минус при ^>0, плюс — при Х< 0. На оси симметрии Еу= Ez = 0, так что окончательно.
При X R приближенно.
и при X -> 0.
Должно быть ясно, что нахождение поля вне оси симметрии не просто.
Задача 7.18. Найти поле на оси симметрии, создаваемое двумя дисками, заряженными с постоянной поверхностной плотностью о иа. Расстояние между дисками d (рис. 7.49).
Решение. Ось х совместим с осью симметрии, и начало координат поместим в середине отрезка d. В точке (х, 0, 0), х > d/2, на основе формулы (7.63) для Е получим.
Рис. 7.49.
Это точная формула. Если d достаточно мало, точнее, если d2 «х2 + R2, формула (7.64) упрощается:
Видно, что при х «R этот результат совпадает с формулой (7.59) для поля диполя, как и должно быть. При х —> d/2 получим внешнее поле плоского конденсатора вблизи пластины.
Между дисками в точке (х, 0, 0), 0 < х < d/2, при условии d «С R из формулы (7.63) для Е (х) получим.
или.
Это любопытный результат. При d R мы имеем плоский конденсатор. Поле Е между пластинами, согласно (7.66), однородно в окрестности оси симметрии, но не равно а/е0, как мы полагали раньше. Формула (7.66) дает более точный результат.