Кодирование переменных. 
Статистические методы контроля качества и обработка экспериментальных данных

Для упрощения записи условий эксперимента и удобства расчетов от натуральных единиц измерения переходят к безразмерным, т. е. производят кодирование факторов:

где х,^в/н — значения верхнего или нижнего уровня переменной в натуральных единицах; х_г° - основной уровень натуральной переменной; AXj — интервал варьирования натуральной переменной; Х^в/н — кодированное значение г-ro фактора (на верхнем или нижнем уровне).

Перейдем в нашем примере от натуральных переменных к кодированным.

Для факторах:

для фактора х₂:

Представим матрицу планирования в кодированных единицах в двух вариантах (табл. 12) с введением в нее фиктивной переменной х₀, необходимой для расчета свободного коэффициента уравнения b_Q (92).

Таблица 12.

Матрицу планирования в кодированных единицах

При этом натуральное пространство (рис. 21) преобразуется в факторное (рис. 22).

Рис. 21. Схема расположения опытных точек в факторном пространстве

Рис. 22. Вид интерполирующей функции

Свойства матрицы планирования

Матрица планирования в безразмерных единицах обладает следующими свойствами:

• ортогональность — скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю:

где i — номер опыта, i = 1, …п; п — количество опытов; u, j — номер фактора, u, j= 1, …, N, u *j, N- количество факторов;

• симметричность — сумма элементов всех столбцов матрицы кроме первого равна нулю:

• нормировка — сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов.

• свойство ротабельности — точки в матрице планирования выбраны таким образом, что точность предсказания значений функции отклика одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента.

На основании перечисленных свойств значительно упрощается расчет коэффициентов регрессии.

Расчет коэффициентов регрессии

На основании метода наименьших квадратов (62) с учетом свойств матрицы планирования (84−96) коэффициенты уравнения регрессии определятся по формулам:

Пример.

Вычислить коэффициенты уравнения регрессии для двухфакторного эксперимента при условии наличия корреляционной связи между факторами на основании экспериментальных данных (табл. 13).

Экспериментальные данные

Уравнение регрессии (90) для условий эксперимента примет вид Решение

Коэффициенты регрессии определим по формулам (97)-(99).

С учетом полученных коэффициентов запишем уравнение:

После вычисления коэффициентов регрессии приступают к проверке уравнения регрессии на адекватность (см. п. 4.2.3).