Матрицы и определители

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размером m х n.

Числа ai j называются ее элементами. При m = n она называется квадратной матрицей n-го порядка.

Если представить, что строки матрицы являются n-мерными векторами ai = (a^, ai ₂,… аi Д то максимальное число линейно независимых векторов называется рангом матрицы А.

Операции над матрицами.

1. Умножение матрицы на число.

При умножении матрицы, А = (ai j) на число X получаем матрицу В = (bij), т. е. ХА = В, элементы которой равны bij= X-aj.

2. Сложение матриц.

При сложении матриц, А = (ai j) и B=(bi j) получаем матрицу C = (cij), т. е. А + В = С, элементы которой равны Cij = aij + bij.

3. Перемножение матриц.

При умножении матрицы, А на матрицу В получаем матрицу С = (qj), при этом число столбцов, А должно быть равно числу строк матрицы В. Каждый элемент Cj = Јa_ik * b_kj.

Каждой квадратной матрице, А можно сопоставить число |А|, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем |А | = det A.

— ^а11 (^а22 ^а33 ^— а32 ^а23 ^) — — ^а12^(а21 ^а33 ^— а31 ^а23 ⁾ + + ^а13 ^(а21 ^а32 ^— а31 ^а22 ⁾-(3.9).

Если, А — определитель порядка n, то минором М^ элемента а^ называют определитель плрядка (n — 1), получающийся из этого определителя «вычеркиванием» I-ой строки и kго столбца.

Под алгебраическим дополнением А^ элемента а^ понимают минор M_ik, домноженный на число (-1) ^1+к, т. е.

Aik = (-1)^I+^k * Mik (3.10).

Теорема разложения.

Определитель nго порядка можно представить в виде суммы произведений всех его элементов какой-либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:

Ј а** Aik = Z aki * Aki (1 < k < n) (3.11) i=1 k=1.