Введение. 
Правильные многогранники в природе

Цель работы:

• 1. Изучить виды и свойства правильных многогранников;
• 2. Исследовать нахождение и применение правильных многогранников в природе.
• 3. Расширить знания о правильных многогранниках у себя и у одногруппников.

Задача работы:

• 1. Изучить литературу по данной теме;
• 2. Показать нахождение правильных многогранников в природе.

Правильные многогранники

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (Приложение № 1,рис. 1, а). В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Многогранник, у которого гранями являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, а также у которого поверхность состоит из восьми правильных треугольников, называется октаэдром (Приложение № 1, рис. 1, в).

Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников и его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, называется икосаэдром (Приложение № 1,рис. 1, г).

Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.

Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты, не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром (Приложение № 1, рис. 1,б).

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани и его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, называется додекаэдром (Приложение № 1,рис.1,д).

Поскольку в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти, то, используя теорему Коши о жесткости выпуклого многогранника, получаем, что других правильных многогранников не существует, и таким образом, имеется только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Теорема Коши о многогранниках:

Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если между их гранями, рёбрами и вершинами имеется сохраняющее инцидентность взаимно однозначное соответствие, причём соответствующие грани многогранников конгруэнтны.

• 1. Конгруэнтность (лат. congruens, род. падеж congruentis — «соразмерный», «соответствующий») — отношение эквивалентности на множестве геометрических фигур (отрезков, углов и т. д.).
• 2. Инцидентность — геометрический термин, употребляемый для обозначения отношения принадлежности (связи, соединения) между основными объектами геометрии: точками, прямыми, плоскостями.

Свойства правильных многогранников:

• · все плоские углы равны;
• · все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром, равны;
• · все рёбра равны;
• · все многогранные углы равны;
• · в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер;
• · все его вершины одинаково удалены от центра правильного многогранника.