Вывод формул для фильтра Кальмана — Бьюси

Для построения оптимального фильтра в непрерывной постановке используем простой подход, суть которого состоит в дифференцировании по коэффициенту, который является оператором К.

Оператор А выразим через H и K (формула 9).

Для определения вида связи оператора А через H и K фильтра Кальмана-Бьюси проведём ряд преобразований. В уравнение (3), вместо z подставим выражение (2).

. (5).

Перейдем к усредненным значениям M[x]=, пользуясь свойствами математического ожидания. Так как по условию постановки задачи, являются белым шумом, то, .

Введем следующие, как правило, допускаемые предположения:

(6).

. (7).

Из уравнения (1), учитывая u = 0, получаем.

. (8).

Подставив (8) в (7) будем иметь.

.

откуда следует, что.

A=F-KH. (9).

Из (9) видно, что для построения решения фильтра достаточно найти оператор К.

Чтобы определить К, обратимся к уравнениям (3) и (1).

(10).

(11).

Вычтя из уравнения (11) уравнение (10), получим.

. (12).

Обозначив в (12) через е, получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно погрешности e

(13).

или.

. (14).

Пусть.

.

тогда.

(15).

Решение дифференциального уравнения будем искать через функцию веса, которая является решением однородного уравнения.

. (16).

Тогда решение (15) можно записать следующим образом [1].

(17).

Дисперсия ошибки e должна быть минимальной.

. (18).

Выберем K так чтобы l (t) было минимальным. Для этого.

. (19).

Для нахождения математических ожиданий и произведений умножим (17) на (t).

(20).

Возмущения и погрешность измерения есть случайные гауссовские процессы типа белого шума с нулевым среднем и корреляционными процессами и.

.

где единичная функция Дирака; q (t) и r (t) —дисперсии шумов.

Тогда.

(21).

.

.

Между моментом t и t₀ корреляция между, нулевая, поэтому, используя свойства гауссовского белого шума и интегральные свойства симметричной единичной функции Дирака [1], получим.

т.к.. (22).

Аналогично.

. (23).

Подставив (21), (22) в (19) будем иметь.

(24).

Чтобы l было минимальным, продифференцируем правую часть по К и прировняем полученное выражение к нулю:

(25).

откуда.

и учитывая (9) получим.

(26).

Будем предполагать, что H=1, тогда.

Подставив (26) в (24) получим:

После проведенных преобразований фильтр КальманаБьюси реализуется с помощью интегрирования системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

(27).

(28).

с естественными начальными условиями.

(29).