Анализ аппроксимации. 
Численные методы. 
Основы научных вычислений

Так как точное решение исходной задачи нам неизвестно, мы можем сделать только оценку невязки. Далее мы рассмотрим пример, который демонстрирует общепринятый метод исследования аппроксимации.

Рассмотрим разностную схему (11.2) для задачи (11.1). Если вместо сеточной функции и подставить точное решение и (х_у t)_y то выражение (11.8) примет вид.

Исследуем аппроксимацию в точке (х", ?*). Предположим что все частные производные функции и (х, t), до второго порядка включительно, непрерывны и ограничены. Тогда мы можем разложить и (х_п_у tk) = и (х_п — /г, ?*) и и (х_п, 4+i) = = и (х_п> + т) в окрестности точки (х_п, tk) но степеням /гит, используя формулу Тейлора:

И.

Подставляя эти разложения в (11.9), получим.

Выражения такого вида называются дифференциальными приближениями разностного уравнения. По своей сути они занимают промежуточное место между исходным дифференциальным уравнением и аппроксимирующей его разностной схемой. Дифференциальное приближение имеет структуру дифференциального уравнения, но его коэффициенты зависят от параметров рассматриваемой схемы, что облегчает аналитическое исследование ее свойств.

Выражение в правой части (11.10) представляет собой невязку, так как начальное условие задается точно. Оценка нормы невязки дает.

т.е. разностная схема (11.2), в общем случае, аппроксимирует задачу (11.1) с первым порядком по h и т. Анализ аппроксимации иногда позволяет получить условия на параметры сетки, при которых сходимость разностной схемы значительно ускоряется. В случае разностной схемы (11.2) для задачи (11.1) такая возможность существует. Из уравнения (11.1) следует, что.

Тогда выражение (11.10) можно записать в виде.

Если мы выберем т = h/c, то невязка равна нулю и разностная схема будет давать точное решение в пределах погрешности вычислений.

Погрешность аппроксимации разностной схемы возникает, в основном, при замене дифференциальных операторов на разностные операторы. Применяя рассмотренный выше подход, получим следующие выражения для главного члена ошибки аппроксимации часто используемых разностных отношений:

где s обозначает пространственные переменные или время и, соответственно, As обозначает шаг по пространству или, но времени. В дальнейшем мы будем использовать эти готовые выражения для анализа различных разностных схем. При этом мы будем подразумевать, что решение обладает достаточной гладкостью и все необходимые нам для анализа производные существуют и ограничены.